Razlika između verzija stranice "Euklidski vektor"

[pregledana izmjena][pregledana izmjena]
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
m Uklanjanje Link FA/FL/GA
No edit summary
Red 9:
 
Fizičke veličine čija vektorska vrijednost zavisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematički predstavljaju matricom, u najprostijem slučaju 3h3. Tenzorskim veličinama se opisuju vektorske veličine u anizotropnoj sredini recimo kod nekubičnih kristala. Tenzorse veličine su toplotna provodljivost, električna provodljivost, difuzioni koeficijent, indeks preklamanja itd...
==Definicija==
 
Vektor je klasa ekvivalencije orjentisanih [[Duž|duži]].<ref>[http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node48.html Vektor je]</ref>
 
Vektor se može definisati uređenim parom tačaka <math>A</math> i <math>B</math> iz <math>R^n</math>. Tada je:
 
<math>\overrightarrow{AB} = \left (B_1 - A_1, B_2 - A_2, \dots, B_n - A_n \right ), a
\overrightarrow{BA} = \left (A_1 - B_1, A_2 - B_2, \dots, A_n - B_n \right )</math>
 
Vektor se može predstaviti i sa polaznom tačkom, jediničnim vektorom koji određuje njegov smjer i intenzitetom:
 
<math>\overrightarrow{AB} = A + ||AB|| \cdot \frac{\overrightarrow{AB}}{||\overrightarrow{AB}||}</math>
 
Ako <math>||AB||</math> zamjenimo sa <math>\lambda</math> koje može biti bilo koji broj iz <math>\R</math> definisali smo pravu koja prolazi kroz tačku <math>A</math> a za vektor pravca ima vektor <math>AB</math>. Ako je <math>\lambda</math> samo ne-negativno ili samo ne-pozitivno, definisana je poluprava, sa početkom u tački <math>A</math>.
 
Ako je <math>||AB||\ne \lambda</math> rezultat je vektor koji je sa prethodnim kolinearan. Ako je novi vektor <math>AB'</math> ovo znači da važi:
 
<math>\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{0}
 
</math>
==Označavanje==
Vektori se označavaju malim podebljanim slovima kao '''a''' i malim kosim i podebljanim '''''a''''', Druge konvencije uključuju <math>\vec {a}</math>. Alternativno, neki koriste (~) ili valovita podcrtano nacrtana ispod simbola, npr <math>\underset{^\sim}a</math>. Ako vektor predstavlja orjrntisanu duž ili pomak iz tačke A do tačke B označena kao <math>\overrightarrow {AB}</math> ili <u>''AB''</u>.
Vektori se predstavljaju i grafički.
 
;Primjer
[[Datoteka:Position vector.svg|mini|desno|300px]]
 
vektor od koordinantnog početka <math>O = (0,0)</math> do tačke <math>A = (2,3)</math> je
<math>a(2,3)</math>
 
U trodimenzionalnom prostoru <math>R^3</math> vektor se označava sa
 
<math>\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)</math>
ili
<math>\mathbf{a} = (a_\text{x}, a_\text{y}, a_\text{z})</math>.
 
U n-dimensionalnom <math>R^n</math> prostoru
 
<math>\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{n-1}, a_n)</math>
Pomoću matrica označavaju se kao vektor reda ili vektor kolone
 
<math> \mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{bmatrix} = [ a_1\ a_2\ a_3 ]</math>.
Drugi način predstavljanja vektora n-dimenzionalnom prostoru je pomoću je stamdardnih baznih vektora
[[Datoteka: 3D Vector.svg |mini|desno|300px ]]
<math>{\mathbf e}_1 = (1,0,0),\ {\mathbf e}_2 = (0,1,0),\ {\mathbf e}_3 = (0,0,1)</math>.
 
odnosno
 
<math>\mathbf{a} = (a_1,a_2,a_3) = a_1(1,0,0) + a_2(0,1,0) + a_3(0,0,1), \
</math>
 
ili
 
<math>\mathbf{a} = \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 + \mathbf{a}_3 = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3</math>.
==Dekartove koordinate==
 
U Dekartovom koordinatnom sistemu, vektor le određen koordinatama početne i završne tačke.
;Primjer
Tačke <math>A = (1,0,0)</math> i <math>B = (0,1,0)</math> u prostoru određuju vektor <math>\ overrightarrow {AB}(1,1,0)</math>
 
== Nula-vektor ==
 
'''Nula-vektor''' <math>a_0</math> je vektor čiji je intenzitet jednak nuli. Obiljeležava se kao nula sa naznakom za vektor.<ref>[http://www2.geof.unizg.hr/~jbeban/M1/04.pdf Nula vektor]</ref>
 
<math>\overrightarrow{a_0} = \overrightarrow{0}, \;|\overrightarrow{a_0}| = 0</math>
 
<math>\overrightarrow{AA}= \overrightarrow{BB}=\overrightarrow{0}</math>
==Jedinični vektor==
 
'''Jedinični vektor ili ort''' je vektor čiji je intenzitet jednak jedinici. Za svaki ne-nula vektor <math>a</math> može se odrediti odgovarajući jedinični vektor <math>v</math> istog pravca i smjera.
 
<math>\overrightarrow{v} = \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}, \; \overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}</math>
 
Ovaj postupak se zove normiranje vektora.
 
U Dekartovim koordinatama vektor <math>(1,0,0)</math> je jedinični vektor duž x- ose. njegov početak je u koordinantnom portku <math>O(0,0,0)</math>.
 
==Intenzitet vektora==
 
Intenzitet vektora ili modul vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korjen zbira kvadrata njegovih koordinata.
 
<math>
\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,...,a_n) \in K^n
|a| = \sqrt{{\sum_{k=1}^n {a_i}^2}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}</math>
==Jednakost vektora==
Dva vektora
 
<math>{\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3</math>
 
i
 
<math>
{\mathbf b} = b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2 + b_3{\mathbf e}_3</math>
 
su jednaka ako važi
 
<math>
a_1 = b_1,\quad a_2=b_2,\quad a_3=b_3</math>
 
==Kolinearni i komplanarni vektori==
 
Vektori koji pripadaju istoj ili paralelnim pravama su kolinearni, a koj ipripadaju istoj ili paralelnim ravnima su komplanarni.
==Projekcija vektora==
Projekcija vektora
*Ortogonalna projekcija u ravni na pravu <math>p</math> je funkcija koja svakoj tački
<math>A</math> ravni pridružuje tačku u kojoj normala na <math>p</math>, koja prolazi
tačkom <math>A</math>, siječe prava <math>p</math>.
*Ortogonalna projekcija u prostoru na pravu <math>p</math> je funkcija koja svakoj tački
<math>A</math> prostora pridružuje tačku u kojoj ravan koja prolazi tačkom <math>A</math>,a okomita je na <math>p</math>, siječe pravu <math>p</math>.[http://www2.geof.unizg.hr/~jbeban/M1/04.pdf]
 
== Suprotni, paralelni, i antiparalelni vektori ==
 
Dva vektora su suprotna ako imaju isti pravac i intenzitet a suprotan smjer tj. dva vektora
 
<math> {\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3</math>
 
i
 
<math>{\mathbf b} = b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2 + b_3{\mathbf e}_3</math>
 
su suprotna ako važi
 
<math>a_1 = -b_1,\quad a_2=-b_2,\quad a_3=-b_3</math>
 
Dva vektora su paralelna ako imaju isti smjer, ili antiparalelni ako imaju suprotan smjer. Jednakost intenziteta nije nužan uslov
 
== Operacije nad vektorima ==
Line 99 ⟶ 225:
* [[Površinska normala]]
* [[Vektorski kalkulus]]
==Izvori==
 
{{Commonscat|Vector mathematics}}
# [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Vector Vector]
# [http://www.marco-learningsystems.com/pages/roche/introvectors.htm Introducing vectors/ 07.03.1997]
# [http://fabulierer.de/vektorrechnung-fuers-abitur/ Vektorrechnung fürs Abitur / 24.11.2013.]
# [http://www.mathe-online.at/mathint/vect1/i.html Vektoren 1 ]
#[http://www2.geof.unizg.hr/~jbeban/M1/04.pdf POJAM VEKTORA]
Reference
 
[[Kategorija:Geometrija]]