Množenje: razlika između verzija

Dodano 4.657 bajtova ,  prije 6 godina
nema sažetka izmjene
[pregledana izmjena][nepregledana izmjena]
m (Automatsko dodavanje sekcije "Također pogledajte")
No edit summary
{{Nedostaju izvori}}
<gallery>
Three by Four.svg|3x4=12
</gallery>
 
'''Množenje''' je jedna od četiri osnovne računske [[Operacija (matematika)|operacije]] u [[aritmetika|aritmetici]]. Množenje [[prirodni brojevi|prirodnih brojeva]] predstavlja njihovo ponovljeno [[sabiranje]].
 
 
<math>a</math> i <math>b</math> se nazivaju '''faktori'''. Rezultat, „a puta b“, se naziva '''proizvod'''.
==Množenje viže uzastopnih brojeva==
 
Npr. pišemo 3 · 4 za 4 + 4 + 4. To se čita „triputa četiri“.
 
Umjesto 3 · 4 nekad se piše 3 × 4. U računarskim programima se često koristi znak *. Pri množenju [[varijabla|varijabli]] možemo pisati npr. (5''x'', ''xy'').
 
Pri množenju više brojeva se koristi slovo [[Π]] iz [[grčki alfabet|grčkog alfabeta]] :
 
: <math>1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n = \prod_{i=1}^n i = n!</math>
 
;Primjeri
 
<math>\prod_{i=1}^4 i = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 =24</math>
 
<math> \prod_{i=1}^6 i = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 \cdot 6 = 720</math>
 
Odnosno imamo da je
 
<math>\prod_{i=m}^n x_i = x_m \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_n</math>
 
 
Ponovljeno množenje istih faktora zamjenjujemo [[potenciranje]]m
: <math>2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6 = 64</math>
 
==Notacija==
 
[[Datoteka:Multiplication Sign.svg |malo |lijevo]]
 
Npr. pišemo 3 · 4 za 4 + 4 + 4. To se čita „tri puta četiri“.
 
Umjesto 3 · 4 nekad se piše 3 × 4. U računarskim programima se često koristi znak *. Pri množenju [[varijabla|varijabli]] možemo pisati npr. (5''x'', ''xy'').
 
 
 
Suprotna operacija je [[dijeljenje]].
 
== PravilaOsobine množenja==
 
* [[Asocijativnost|Zakon asocijativnosti]]: <math>a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot b \cdot c </math>
* [[Neutralni element]]: <math> a \cdot 1 = a</math>
* [[Inverzni element]]: <math> a \cdot a^{-1} = 1</math>
* [[Nulti element]]: <math>a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0</math>
 
U skupu racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva, svaki broj osim nule ima tačno jedan inverzan broj.
 
<math>\forall a \ \exists_1 b: a \cdot b = 1</math>
 
Inverzan broj broja <math>a</math> je <math>\tfrac{1}{a}</math>. Inverzan broj inverznog broja <math>a</math> je broj <math>a</math>
 
<math>\frac{1}{\frac{1}{a}} = a</math>
 
=Množenje kroz skupove==
===Cijeli brojevi===
 
Ako su u skupu cijelih brojeva faktori istog znaka proizvod je pozitivan, a ako su različitih predznaka onda je negativan.
 
<math>(-1)*a=a*(-1)=-a</math>
<math> (-1)(-1)=1</math>
===Racionalni brojevi===
Proizvod racionalnih brojeva je racionalan broj kome je brojilac proizvod brojilaca faktora, a imenilac proizvod imenilaca faktora
 
<math>a = \frac{p_1}{q_1} \land b = \frac{p_2}{q_2} \Rightarrow a \cdot b = \frac{p_1 \cdot p_2}{q_1 \cdot q_2}</math>
===Iracionalni brojevi===
 
Neka je <math> b \in R \smallsetminus Q</math> iracionalan broj, tada je proizvod <math>ab</math> granična vrednost
 
<math>a \cdot b = \lim_{\frac{p}{q} \rightarrow b} a \cdot \frac{p}{q}</math>
 
gdje je <math>\tfrac{p}{q}</math> racionalan broj i predstavlja približnu vrednost broja <math>b</math>.
kompleksan broj
===Kompleksan brojevi===
Kompleksan broj <math>z</math> možemo zapisati kao uređeni par ili u trigonometrijskom obliku:
 
Zbog <math>i^2=-1</math> je
 
<math>(a_1, b_1) \cdot (a_2, b_2) = (a_1 a_2 - b_1 b_2, a_1 b_2 + a_2 b_1)</math>.
 
<math>\rho_1 (\cos \phi_1 + i \sin \phi_1) \cdot \rho_2 (\cos \phi_2 + i \sin \phi_2) = \rho_1 \rho_2 (\cos \left(\phi_1 + \phi_2\right) + i \sin \left(\phi_1 + \phi_2\right))</math>
===Množenje vektora====
*<math>k \in \mathbb{R}, \mathbf{a} \in \mathbb{R}^3 \Rightarrow k \mathbf{a} = (k a_x, k a_y, k a_z)</math>
(Vektor množimo skalarom tako što se svaka njegova koordinata pomnoži skalarom. Ova operacija je komutativna)
*:<math>\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3</math>
:<math>\cdot: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}</math>
:<math>\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z</math>
(Skalarni proizvod vektora je skalar jednak zbiru proizvoda odgovarajućih koordinata)
*:<math>\times: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3</math>
:<math>\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3</math>
:<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z
\end{vmatrix}
</math> gdje su <math>\mathbf{i}</math>, <math>\mathbf{j}</math> i <math>\mathbf{k}</math>jedinični vektori duž x, y i z ose
(Vektorski proizvod vektora je novi vektor, čiji je intenzitet jednak površini paralograma koji vektori-faktori zaklapaju, pravac mu je normalan na ravan koju vektori-faktori definišu, a smjer se definiše pravilom lijeve ili desne ruke, zavisno od konvencije. Ovaj proizvod je specifičan za <math>\mathbb{R}^3</math>, i antikomutativan je. Vektorski proizvod se računa kao determinanta matrice.)
*<math>[]: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}</math>
 
<math>\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^3</math>
 
<math>[\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] =
\begin{vmatrix}
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
c_x & c_y & c_z \\
\end{vmatrix}
</math> (Mješoviti proizvod tri vektora je skalar koji je jednak zapremini paralelopipeda koji ti vektori zaklapaju. Zapisuje se kao <math>[a, b, c]</math> )
===Množenje matrica===
Neka su date matrice А i B veličine m<sub>А</sub>×nА i mB×nB. Proizvod AB je definisan ako je n<sub>А</sub> = m<sub>B</sub>, a dobijena matrica ima dimenzije m<sub>А</sub>×n<sub>B</sub>. Elementi matrice-proizvoda su
 
<math>(AB)_{i, j} = \sum_{k=1}^{n_A} A_{i, k} B_{k, j} </math>
 
Množenje matrica nije komutativno. Matrice 1×3 i 3×2 možemo pomnožiti samo na jedan način, a 5×4 i 4×5 sa obe strane, ali proizvodi neće imati istu veličinu (5×5 na jedan i 4×4 na drugi način). Ako se pomnože dve kvadratne matrice iste veličine, proizvodi su takođe iste veličine, i može se definisati komutator
 
<math>[A, B] = A \times B - B \times A</math>
 
 
 
== Također pogledajte ==
* [[Faktorijel]]
==Izvori==
[http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/multiplication.shtml Multiplication]
 
 
 
{{Commonscat|Multiplication}}
2.190

izmjena