Razlika između verzija stranice "Kružnica"
| [pregledana izmjena] | [nepregledana izmjena] |
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
No edit summary |
|||
Red 228:
Imamo <math>MC</math> <math>MD</math>=0 kružnica sa prečnikom CD.
==Kružnice u p-normama i brojevi <math>\pi_p</math>==
Dosad smo udaljenost računali pomoću metrike <math>d_2</math>. Za definisanje pojma kružnice možemo, umjesto metrike <math>d_2</math>, uzeti neku drugu metriku d.
Skup
<math>S={(x,y)\in R^2:d((x,y),(x_0,y_0 ))=r}</math>
predstavlja kružnicu radijusa r sa sredisstem u (<math>x_0, y_0</math>) s obzirom na metriku d.
Kružnica radijusa r sa sredistem u koordinantnom početku s obzirom na <math>d_p</math> je skup
<math>S_p ={(x,y)\in R^2:x^p +y^p=r^p}</math> za <math>p\ge 1</math>
Na ovoj slici prikazane su kruznice <math>S_1, S_2 i S_\infty</math>
slika
Kada bismo nacrtali i ostale kružnice <math>S_p</math>, sve bi one bile smještene između <math>S_1</math> i
<math>S_\infty</math>, i što bi p bio veći, to bi kružnica <math>S_p</math> bila bliže kružnici <math>S_\infty</math>.
To nam je jasno iz teorema za max- normu.
Uzmimo <math>r = 1</math>. Neka je
<math>(x,y)\in R^2 (x,y) \neq (0,0)</math>
Tada tačka
<math>\frac{1}{\begin{Vmatrix} (x,y) \end{Vmatrix}}(x,y)</math> leži na kružnici <math>S_1</math> ,jer je
<math>\begin{Vmatrix}\frac{1}{\begin{Vmatrix} (x,y) \end{Vmatrix}_1}(x,y)\end{Vmatrix}=1</math>
Sa slike se vidi da kružnica <math>S_1</math> leži unutar kružnice <math>S_2</math> pa je tačka
<math>\frac{1}{\begin{Vmatrix} (x,y) \end{Vmatrix}}(x,y)</math> unutar kružnice <math>S_2</math> tj
<math>\begin{Vmatrix}\frac{1}{\begin{Vmatrix} (x,y) \end{Vmatrix}_1}(x,y)\end{Vmatrix}\le1</math>
vrijedi
<math>\begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_2 \le \begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_1</math>
Kada bismo nacrtali kružnicu radiusa <math>\sqrt{2}</math> u odnosu na metriku <math>d_1</math> odnosno <math>\sqrt{2} S_1</math> kružnica <math>S_2</math> bila smještena unutar nje.
<math>\begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_1 \le \sqrt{2}\begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_2</math>
<math>\begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_2 \le \begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_1 \le \sqrt{2}\begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_2</math>
Propozicija
Za sve <math>p,q \ge 1</math>
<math> \begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_\infty \le \begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_p \le \sqrt[p]{\sqrt{2}} \begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_\infty </math>
<math>\sqrt[p]{^{-1}}\begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_q \le \begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_p \le \sqrt[p]{2} \begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_q</math>
Geometrijski oblik kružnice zavisi o odabranoj metrici.
Izračunajmo obim <math>O_p</math> kružnica <math>S_p</math>.
Obim kružnice <math>S_2</math> je <math>O_2=2r\pi </math>
<math>O_1=4d_2 ((r,0)(0,r))=4(|r-0|+|0-r|)=8r</math>
<math>O_\infty=4d_\infty ((r,-r),(r,r))=max(|r-r|,|-r-r|)=8r</math>
U obima <math>O_1</math> i <math>O_\infty</math> ne pojavljuje se <math>\pi</math>.
Neka je <math>c_p</math> četvrtina kružnice <math>S_p</math> koja pripada prvom kvadrantu. Tada je
<math>
\int_{c_p} ds_p\, dx</math>
<math>ds_p</math> je element duzine
<math>ds_p =\sqrt[p]{|dx|^p+|dy|^p} = \sqrt[p]{|x'(t)|^p+|y'(t)|^p}dt </math>
Za <math>p=2</math> imamo
<math>ds_2 =\sqrt{(dx)^2+)(dy)^2}</math>
Za parametrizaciju krive <math>c_p</math> uzmimo
<math>x(t)=r\sqrt[p]{t}</math>
<math>y(t)=r\sqrt[p]{1-t}</math> za <math>t\in [0,1]</math>
<math>
ds_p= \frac{r}{p}\sqrt[p]{t^{1-p}+(1-t)^{1-p}}dt</math>
Za <math>p\ne\infty</math>
<math>
O_p=\frac{4r}{p}\int_{0}^{1} \sqrt[p]{t^{1-p}+(1-t)^{1-p}}\, dt </math>
Pošto su nam iznosi za <math>O_1</math> i <math>O_2</math> poznati, gornju formulu možemo provjeriti uvrštavanjem <math>p = 1</math> i <math>p = 2</math>.
Za <math>p=1</math>
<math>
O_1=4r\int_{0}^{1} ({t^{1-1}+(1-t)^{1-1})}\, dt = 4r\int_{0}^{1} 2\, dt =8r </math>
Za <math>p=2</math>
<math>
O_2=\frac{4r}{2}\int_{0}^{1} \sqrt[2]{t^{1-2}+(1-t)^{1-2}}\, dt </math>
<math>
O_2=2r\int_{0}^{1} \sqrt[2]{\frac{1}{t}-\frac{1}{1-t}}\, dt </math>
<math>O_2=2r\int_{0}^{1} \sqrt[2]{\frac{1}{(\frac{1}{2})^2- (t-\frac{1}{2})^2 }}\, dt= 2r\arcsin (2t-1)|_{0}^{1} </math>
<math>
O_2=2r\arcsin (1)-2r\arcsin (1)=2r\pi</math>
Za svaki <math>p</math> razmjera <math>\frac{O_p}{2r}</math> obima <math>O_p</math> i prečnika <math>2r</math> kružnice je konstantan.
Tu razmjeru označavamo sa <math>\pi_p</math> i iznosi
<math>
\pi_p=\frac{2}{p}\int_{0}^{1} \sqrt[p]{t^{1-p}+(1-t)^{1-p}}\, dt </math>
Očito je
<math>
\pi_1=4</math>, <math>\pi_2=\pi</math>, <math>\pi_\infty =4</math>
== Također pogledajte ==
| |||