Razlika između verzija stranice "Diofantska jednačina"
[nepregledana izmjena] | [nepregledana izmjena] |
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
m Kategorija:Matenatika uklonjena; Kategorija:Matematika dodata (uz pomoć HotCat-a) |
|||
Red 154:
:Jednačina ima samo jedno rjesenje <math>x=2</math>
==Pellove i pellovske jednacine==
:Neka je zadana jednacina
:<math>x^2+y^2=z^2</math>
:Uređenu trojku (x,y,z) koja zadovoljava zadanu jednačinu nazivamo [[Pitagorine trojke|Pitagorina trojka]]
:Ako su brojevi x y z relativno prosti onda je to primitivna Pitagorina trojka
:U svakoj primitivnoj Pitagorinoj trojci tačno je jedan od brojeva <math>x</math>,<math>y</math> neparan. Za <math>x</math>,<math>y</math>
parne nebi se radilo o primitivnoj Pitagorinoj trojci
:Diofantska jednačina oblika
:<math>x^2-dy^2=a</math> gdje je <math>d \in N</math> i nije potpun kvadrat je Pelova jednačina.
:Pelova jednačina ima beskonačno mnogo rješenja u [[Skup prirodnih brojeva|skupu prirodnih brojeva]]. Ako pronađemo najmanje (osnovno) rješenje <math>(x_e, y_e)</math>, preostala rješenja <math>(x_n, y_n)</math> možemo generisati na sljedeći načine
# :<math>x_n+y_n \sqrt{d} </math> <math>= ( x_n+y_n \sqrt{d} )^n</math>
# :<math>x_{n+1} =2x_nx_e -x_{n-1}</math> i <math>y_{n+1} =2x_ny_e -y_{n-1}</math> za <math>(x_0,y_0)=(1,0)</math> i <math>(x_1,y_1)=(x_e,y_e)</math>
# :<math>x_{n+1} =x_ex_n +y_edy_n</math> i <math>y_{n+1} =x_ey_n +y_edx_n</math>
Jednačina
:<math>x^2-dy^2=1</math> je Pellovska jednačina (jednačina Pellovog oblika)
Za razliku od Pellove jednačine ova jednačina nema uvijek cjelobrojno rješenje
==Erdős–Strausova hipoteza==
:Hipotezom je pretpostavljeno da za sve prirodne brojeve <math>n \ge 2</math> postoji racionalni broj <math>4/n</math> koji se može iskazati kao zbir tri jedinična razlomka s pozitivnim, cjelobrojnim nazivnicima kako slijedi:
:<math> \frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z}. \, </math>
:;Primjer
:za <math>n = 1801</math>, postoji rješenje jednacie gdje je <math>x = 451</math>, <math>y = 295364</math> i <math>z = 3249004</math>.
:Pomnožimo li obe strane jednačine s <math>nxyz</math>, nalazimo Diofantsku jednačinu oblika:
:<math> 4xyz=n(xy+xz+yz).\, </math>
[[Kategorija:Matematika]]
|