Razlika između verzija stranice "Kružnica"
| [pregledana izmjena] | [nepregledana izmjena] |
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
No edit summary |
|||
Red 27:
Luk koji odgovara nultom uglu svodi se na tačku.
Punom uglu odgovara kao luk cijela kružnica.
==Jednačina kružnice==
U pravouglim koordinatama jednačina kružnice glasi
::<math>(x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2\,</math>.▼
▲<math>(x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2\,</math>.
Ova je jednačina drugog reda.
Jednačina kružnice može se napisati i na sljedeći način
::<math> \frac{x^2}{r^2}+ \frac{y^2}{r^2}= 1 </math>. Ovo je segmentna jednačina.
Obim kružnice је <math>2r \pi \,</math>, a kružnica predstavlja periferiju [[krug]]a'''.▼
Kružnica sa središtem u tački <math> S(p,q) </math> i poluprečnikom <math> r </math> određena je jednačinom:
::<math> (x-p)^2+(y-q)^2 = {r^2}\, </math>
ili
::<math> \frac{(x-p)^2}{r^2}+ \frac{(y-q)^2}{r^2}= 1 </math> segmentna jednačina
==Opšti pojmovi==
▲Obim kružnice је <math>O = 2r \pi \,</math>, a kružnica predstavlja periferiju [[krug]]a'''.
Površina omeđena kružnicom је <math>P = r^2 \pi\,</math>.
'''Koncentričnne kružnice''' su kružnice koje imaju zajednički centar i i leže u jednoj ravni.
Line 81 ⟶ 86:
Posmatrajmo duži R – r, CO i R + r za R > r
Između ovih duži postoji jedan i samo jedan od ovih odnosa
#
#
#<math> R
#
#
=== Presjek kružnica prazan skup ===
▲* Za CO > R + r <=> CO – r > R < => CA > R
Sve tačke jedne kružnice su izvan druge kružnice.
*<math>
Sve tačke jedne kružnice su unutar druge kružnice.
== Tangenta kružnice ==
;Tangenta kružnice sa središtem <math> S(0,0</math>
Tangenta kružnice koja ima središte u koorinantnom početku koordinatnog sistema i koja prolazi točkom
<math> T (x_0, y_0)</math>
na kružnici, određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferenciranjem jednačine kružnice nalazi se da je:
:<math> {2xdx+2ydy} = {0}\, </math>
odakle slijedi da je
:<math> y'= \frac{dy}{dx} = tan \alpha\, = - \frac{x_0}{y_0} </math>
jednačina tangente na kružnicu
:<math> y-y_0 = -{\frac{ x_0}{y_0} (x-x_0)} </math>
odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednačine tangente kružnice
:<math> x_0x + y_0y = r^2\, </math>.
;Tangenta kružnice sa središtem u <math> S(p, q) </math>
Tangenta kružnice koja ima središte u tački <math> S(p, q) </math> i koja prolazi tačkom <math> T(x_0, y_0) </math> na kružnici određena je koordinatama tačke T i koeficijentom smjera tangente. Diferenciranjem jednačine kružnice nalazi se da je:
:<math> {2(x-p)dx+2(y-q)dy} = {0} \, </math>
odakle slijedi da je
:<math> y'= \frac{dy}{dx} = tan \alpha\, = - \frac{x_0-p}{y_0-q} </math>
te se sličnim postupkom nalazi da je jednadžba tangente kružnice
:<math> y-y_0 = -{\frac{x_0-p}{y_0-q} (x-x_0)} </math>
odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednačine tangente kružnice
:<math> (x_0-p)(x-p) + (y_0-q)(y-q)= r^2 \, </math>.
=== Tangiranje kružnica ===
▲* CO = R + r < = > CO – r < R < => CA = R
Tačka A druge kružnice pripada tačkama prve kružnice. Sve ostale tačke su izvan prve kružnice. Za kružnice koje imaju jednu i samo jednu zajedničku tačku i ona leži na pravoj CO kažemo da se one dodiruju izvana u tački A.
* <math> CO = R
Tačka B pripada prvoj kružnici sve ostale tačke druge kružnice su unutar prve kružnice. Ako dvije kružnice imaju dijametralno raspoređene dvije zajedmočke tačke M na pravoj CO onda su one dijametralno suprotne za svaku od te dvije tačke koje leže na pravoj . za svaku od te dvije kružnice pa se one poklapaju.
Line 107 ⟶ 153:
B je van K (C,R)
CO < R + r => CA < RA je u kružnici.
Od
'''Aksioma 2'''
| |||