Razlika između verzija stranice "Iracionalan broj"
| [pregledana izmjena] | [nepregledana izmjena] |
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
m Uklanjanje Link FA/FL/GA |
No edit summary |
||
Red 1:
{{Nedostaju izvori}}
'''Iracionalni brojevi''' su oni [[broj]]evi koje ne možemo zapisati u obliku razlomaka
<math>\frac{a}{b}</math> gdje su a i b cijeli brojevi i <math> b \ne 0</math>
Primjeri (transcedentnih) iracionalnih brojeva su:
Line 8 ⟶ 10:
: <math>\pi \approx 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923...</math>
Algebarski iracionalni brojevi su <math>\sqrt{2}</math>, <math>\sqrt{3}</math>, <math>\sqrt{5}</math>
Racionalni brojevi su ''gusto'' poredani po brojevnoj pravoj ali ga ipak ne ispunjavaju. Postoji mnogo tačaka (iracionalnih brojeva)) koji se ne mogu izmjeriti jediničnom dužinom (nisu srazmjerne s jediničnom dužinom). Primjer: prikaz √2 na brojevnoj pravoj.
== Iracionalnost kvadratnog korena iz 2 ==
=== Euklidov dokaz ===
[[Euklid]] je svojevremeno dokazao da korijen od 2 ne može biti racionalan, na slijedeći način:
Line 20 ⟶ 22:
* onda je ''√2 = n/m'', gdje n i m su [[Cijeli broj|cijeli brojevi]] koji nemaju općeg djelioca (jer bi ga inače mogli skratiti). Ali onda <math>\frac{n^2}{m^2} = 2</math>, <math>n^2 = 2m^2</math>, gdje ''n'' i ''m'' su cijeli brojevi. Vidi se jasno da se <math>n^2</math> dijeli na 2. Međutim, to bi podrazumijevalo da se i ''n'' dijeli na 2 jer samo parni brojevi proizvode kvadrate koji se dijele na 2 (<math>4^2 = 16</math>, na primjer, ali <math>5^2 = 25</math>; dokaz nije složen).
* Sad je pitanje: je li ''m'' paran ili ne? Ako se ''n'' dijeli na 2, onda <math>n = 2r</math>, i <math>(2r)^2 = 2m^2</math>, <math>4r^2 = 2m^2</math>. Ovo pak znači <math>2r^2 = m^2</math> i ''m'' je dijeljivo na 2. Ali sad smo došli do zaključka da se i m i n dijele na 2, pa razlomak nije u najprostijem obliku; došli smo do kontradikcije -> korijen iz 2 je iracionalan.
=== Drugačiji dokaz ===
[[Datoteka:[http://sr.wikipedia.org/wiki/Datoteka:Koren2.jpg]|thumb|200px|right|Jednakokraki pravougli trougao]]
Primjenom iste metode na drugačiji način možemo dokazati <math>\sqrt 2</math> iracionalan je manje poznat ali zaslužuje da se predstavi. Dakle, ako je <math>\sqrt 2 = \frac {m} {n}</math> tada se geometrijskom metodom, jednostavnom lenjir i šestar konstrukcijom može demonstrirati da je <math>\sqrt 2 = \frac {m} {n}= \frac {2n-m} {m-n}</math>.
Ovo je dokaz u kome nema računa već isključivo geometrije, pa se može smatrati prihvatljivim starim helenskim geometrima.
== Iracionalnost zlatnog presjeka ==
Kada se duž podijeli na dva dijela na način da se duži dio prema cjelini odnosi na isti način kao kraći dio prema dužem, tada smo duž podijelili u '''zlatnom odnosu'''. Kaže se još da smo napravili [[zlatan presjek]], čiji je odnos
:<math>\varphi={1+\sqrt{5} \over 2}.</math>
Pretpostavimo da je ovaj broj racionalan, i predstavimo ga odnosom <math>\frac{n}{m}</math>.
gdje su ''n'' i ''m'' uzajamno prosti. Neka je ''n'' dužina cjeline, a ''m'' dužina dužeg dijela. Tada je dužina kraćeg dijela ''n'' − ''m''. Slijedi da je tada
:<math>{n \over m} = {m \over n-m}</math>.
Ali ovo znači da smo pojednostavili razlomak koji, prema pretpostavci, nije mogao biti pojednostavljen, skraćen. To je kontradikcija, znači pretpostavka da je φ racionalan nije tačna.
== Također pogledajte ==
| |||