Razlika između izmjena na stranici "E (broj)"

Dodana 7.682 bajta ,  prije 6 godina
Veliki dodat za temu na bosanskom jeziku. Prevedeno sa engleske verzije
m (Uklanjanje Link FA/FL/GA)
(Veliki dodat za temu na bosanskom jeziku. Prevedeno sa engleske verzije)
'''Uvod'''
{{Nedostaju izvori}}
{{Drugo_značenje|E broj}}
{{DISPLAYTITLE:e (broj)}}
'''Broj e''' zove se još [[Leonhard Euler|Eulerov]] (fon. ''Ојlerov'') broj ili Napierova konstanta je baza [[Prirodni logaritam|prirodnog logaritma]]. U sadašnjoj matematici jedan je od značajnijih brojeva. U tu grupu spadaju još 0 (broj), 1 (broj), [[pi]] (<tt>''π''</tt>) i [[Imaginarni broj|imaginarna jedinica]] (<tt>i</tt>).
 
Prije
Eulerov broj broj je [[Iracionalan broj|iracionalan]] i [[Transcedentalni broj|transcedentalan]] broj. On iznosi
nego što počnemo o '''broju'''  moramo
nešto reći o čovjeku koji ga je otkrio. Jakob Bernouli  (Jacob
Bernoulli) takođe poznat i kao Džejms ili Žak, rođen je 27. Decembra 1654. a
umro je 16. Avgusta 1705. Bio je jedan od mnogih istaknutih matematičara iz
porodice Bernouli. Bio je rani zagovornik Leibnic kalkulusa, i bio je na strani
Leibnica tokom Leibnic-Njutn kalkulus kontroverze. Poznat je po svojim brojnim
doprinosima kalkulusu, i zajedno sa svojim bratom Johanom je bio jedan od
osnivača kalkulusa varijacija. Njegov najveći doprinos je bio u polju
vjerovatnoće, gdje je izveo prvu verziju zakona velikih brojeva u svom radu
„Ars Conjectandi“.
 
Bernouli je otkrio konstantu  proučavajući polje o složenoj
<center> e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 ... </center>
kamati koji ga je zahtjevala da nađe vrijednost sledećeg izraza (koji je
ustvari ): 
 
'''<nowiki/>''' 
== Definicija ==
 
'''<nowiki/>''' 
Broj e je
 
'''<nowiki/>'''
# [[Granična vrijednost]] [[Niz|beskonačnog niza]]
#: <math>e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n</math>
# Zbir [[Niz|beskonačnog niza]] :
#: <math>e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots</math>
#:: Gdje je ''n''! [[faktorijel]] ''n''.
#:
# Pozitivna vrijednost koja zadovoljava
#: <math>\int_{1}^{e} \frac{1}{t} \, dt = {1}</math>
#:
#: [[Ekvivalencija]] između ova tri iskaza može se dokazati.
#:
# Susreće se i kao dio [[Eulerov identitet|eulerovog identiteta]]:
#: <math>e^{\mathrm i\cdot\pi} = -1</math>
 
'''Jedan primjer''' je račun koji počinje sa 1$
{{Commonscat|E (mathematical constant)}}
i plaća 100% kamate godišnje. Ako se kamata naplaćuje jedanput, na kraju
godine, vrijednost je 2$; ali ako se kamata računa i doda dvaput godišnje, 1$
se množi sa 1.5 dvaput, tako 1$*1.5<sup>2</sup>=2.25$. Dodavanjem kvartalnih
tj. četveromjesečnih prinosa 1$*1.25<sup>4</sup>=2.4414...$, i dodavanjem godišnjih
prinosa 1$*(1.0833...)<sup>12</sup>=2.613035...$
 
Bernouli je primjetio da se ovaj niz približava
limitu tj. ograničenju za više manjih zajedničkih intervala. Računajući sedmične prinose 2.692597...$, i
računajući dnevne prihode 2.714567...$, razlika je samo 2 centa. Koristeći  kao broj zajedničkih intervala, sa kamatom od
100%/ u svakom intervalu, ograničenje za veliko  je broj koji je '''Ojler''' kasnije nazvao ; sa
ponavljajućim zbrajanjem, vrijednost računa ce dostići 2.7182818...$. Opštije,
račun koji je počeo sa 1$, i nudi godišnju kamatu  će, nakon  godina, prihoditi  dolara sa stalnim zbrajanjem.
 
'''''Broj''''' (matematička konstanta)
 
Broj  je važna matematička konstanta koja je baza
prirodnog logaritma. Ima približnu vrijednost 2.71828, i limit je od  kako se  približava beskonačnosti. Takođe se može
računati kao suma beskonačnog niza.
 
Konstanta se može
definisati na mnogo načina. Na primjer,  može biti definisano kao jedinstven pozitivan
broj  tako da grafik funkcije  ima nagib kod . Funkcija    se zove eksponencijalna
funkcija, i obrnuta je prirodnom logaritmu, ili logaritmu baze . Prirodni logaritam pozitivnog broja  se takođe može definisati
direktno kao područje ispod krive  između  i , u kojem slučaju,  je broj čiji je prirodni
logaritam 1. Postoje alternativne karakterizacije.
 
Nazvan '''Ojlerov broj''' po Švicarskom matematičaru Leonardu Ojleru,  se ne smije zabuniti sa  Ojler-Maščeroni konstantom,
ponekad zvana samo Ojlerova konstanta. Broj  je takođe poznat i kao '''Napierova konstanta,''' ali Ojlerov izbor
za simbol  je zadržan u njegovu čast.
Konstanta je otkrivena Od strane Švicarskog matematičara dok je proučavao polje
složene kamate.
 
Broj  je od velikog značaja u
matematici, zajedno sa 0,1, Svih ovih pet brojeva igraju
važnu ulogu kroz matematiku, i pet su konstanti koje se pojavljuju u formuli Ojlerovog
identiteta. Kao konstanta je iracionalan broj; nije odnos cijelih brojeva; i transcedentalan je
broj; nije korijen bilo kojeg polinoma sa racionalnim koeficijentom. Numerična
vrijednost  do 50 decimala je '''''2.71828182845904523536028747135266249775724709369995'''''...
 
 
 
'''Istorija'''
 
Prva referenca konstante je bila
objavljena 1618 u tabeli dodataka u radu o logaritmima Džona Napiera. Ali, ona
nije sadržavala samu konstant, nego samo listu logaritama računatih od
konstante. Pretpostavlja se da je tabelu napisao Vilijam Ougthred. Otkriće
konstante se prepisuje Jakobu Bernouliju, koji je pokušao naći vrijednost
izraza (koji je ustvari )
 
Prvo poznato korišćenje konstante,
koristeći slovo , je bilo u prepisci Gotfrid Libnica za Kristijana Hujgensa 1690 i
1691. Leonard Ojler je unio slovo  kao bazu prirodnih logaritama,
pisajući u pismu za Kristijana Goldbaha 25. Novembra 1731. Ojler je počeo
koristiti slove  za konstantu 1727-e ili 1728-e,
u neobjavljenom radu o eksplozivnim silama u topovima, i prva pojava e u
izdavanju je bila u knjizi „Ojlerova mehanika“ (1736). Dok su u sledećim godina
naučnici koristili slovo ,  je bilo češće korišteno i
eventualno je postalo standard.
 
 
 
'''Bernoulijeve studije'''
 
Broj  ima primjenu teoriji
vjerovatnosti, gdje raste na način ne očigledno vezan sa eksponencijalnim
rastom.
 
Recimo da kockar igra na slot
mašini koja isplaćuje sa vjerovatnoćom od 1: i igra  puta. Onda za veliko  (npr. Milion), vjerovatnoća da
kockar izgubi svaku igru je (približno) 1/. Za  je već približno 1:2.79.
 
Ovo je primjer procesa
Bernoulijevih studija. Svaki put kada kockar igra slotove, šansa za dobitak je
1:1000000. Igrajući milion puta je modelirano po binomskoj distribuciji, koja
je usko vezana binomskoj teoremi. Šansa pobjeđivanja  puta od milion ponavljanja je;
 
Posebno, šansa za dobitak nula
puta ( je
 
'''Razmetanje'''
 
Još jedna primjena , takođe dijelom otkrivena od strane Jakoba Bernoulija sa Pierre
Raymond de Montmort-om je u problemu  razmetanja,
takođe poznat kao „''hat check problem''“ (problem provjere šešira):
 
- gostiju je pozvano na zabavu, i
na vratima svaki gost daje šešir batleru, koji ih onda stavlja u  kutija, svaka označena sa imenom
gosta. Ali batler ne zna identitete gostiju, i tako stavlja šešire u kutije
odabrane nasumično. De Montmortov problem je naći vjerovatnoću da ''nijedan'' od
šešira dođe u pravu kutiju. Odgovor je:
 
Kako broj gostiju  teži beskonačnosti,  se približava .
 
Štaviše, broj načina na koji
šeširi mogu biti stavljeni u kutije tako da nijedan šešir nije u pravoj kutiji
je  zaokruženo do najbližeg cijelog
broj, za svako pozitivno .
 
'''Asimptotika'''
 
Broj  se prirodno pojavljuje u vezi sa
mnogo problema sa asimptotikom. Istaknut primjer je Stirlingova formula za
asimptotiku faktorijalne funkcije, u koju ulaze oba broja  i :
 
Posljedica ovog je
 
'''Standardna normalna distribucija'''
 
Najjednostavniji slučaj normalne
distribucije je poznat kao standardna ''normalna distribucija,'' opisana
ovom vjerovatnoćom funkcije gustine:
 
Faktor  u ovom izrazu osigurava sa
ukupna zona ispod krive  je jednaka jedan.  u eksponentu osigurava da
distribucija ima varijaciju jedinica. Ova funkcija je simetrična oko  gdje zadržava maksimalnu
vrijednost  ; i ima prevojne tačke kod +1 i -1
 
 
 
'''Teorija brojeva'''
 
<nowiki> </nowiki>Realan broj  je iracionalan. Euler je dokazao
ovo pokazivajući da se njegov jednostavni razlomak širi u beskonačnost
 
Štaviše, po Lindeman-Veierstras
teoremi,  je transcedentalan, šta znači da
nije rješenje nijedne ne-konstantne polinom jednačine sa racionalnim
koeficijentima.
 
Pretpostavljeno je da je  normalno, šta znači da kada se  izrazi u bilo kojoj bazi, mogući
brojevi u toj bazi
 
'''Kompleksni brojevi'''
 
Eksponencijalna funkcija  se može zapisati kao Tejlorov
niz
 
Zato što ovaj niz zadržava mnoga
svojstva  čak i kada je  kompleksan, rijetko se koristi
da produži definiciju od  na kompleksne brojeve. Ovo, sa
Tejlorovim nizom za sinus i kosinu , dozvoljava da se izvuče Ojlerova formula:
 
,
 
koja važi za sve . Specijalni slučaj za  je Ojlerov identitet:
 
Iz kojeg slijedi da je, u glavnoj grani logaritma,
 
.
 
Dalje, koristeći zakone za
eksponenciju,
 
, je Moivreova formula.
 
Izraz  se nekad odnosi  kao .
 
 
 
'''Predstavljanje'''
 
Broj  se može predstaviti kao realan
broj na različite načine: kao beskonačan niz, beskonačan proizvod, stalni
razlomak, ili kao limit.Glavni među ovim predstavljanjima posebno u kalkulusu
je limit                                                                                          
 
Manje korišten je stalni razlomak
 
koji zapisan izgleda
 
'''U računarskoj kulturi'''
 
U savremenoj internet kulturi,
individualci i organizacije ponekad odaju počastu broju .
 
Naprimjer, IPO (inicijalna javna
ponuda, odnosi se na dionice) za Google 2004 je umjesto tipičnog okruglog broj,
najavio porast od 2.718.281.818$, što je  milijardi dolara. Google je
takođe bio odgovoran za bilbord koji se pojavio u centru Silikonske doline, i
kasnije na Kembridžu, Masačusetsu, Vašingtonu i Austinu, na kojem je pisalo „“.                              
Rješavajući ovu zagonetku i posjećivanje stranice odgonetnute šifre, je
vodilo do stranice na kojoj je još teži problem za rješiti, koji je eventualno
vodio do Google labaratorija, gdje je posjetitelj bio ponuđen da preda rezime.
Prvih 10 prosti cifara u  su 7427466391, koje počinju kod
99te cifre.{{DISPLAYTITLE:e (broj)}}{{Commonscat|E (mathematical constant)}}
 
[[Kategorija:Matematika]]
Anonimni korisnik