Wikipedia

Razlika između verzija stranice "Pitagorina teorema"

Pregled historije
[pregledana izmjena][pregledana izmjena]
← Starija izmjenaNovija izmjena →
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
VizualnoWikitekst
m Vraćene izmjene korisnika 77.46.223.191 (razgovor) na posljednju izmjenu koju je napravio Munjanes
mNo edit summary
Red 1:
{{Nedostaju izvori}}
[[Datoteka:Pythagorean.svg|desno|mini|PitagorinPitagorina teoremteorema: Površina kvadrata nad hipotenuzom je jednaka je zbiru površina kvadrata nad katetama.]]
U [[matematika|matematici]], '''PitagorinPitagorina teoremteorema''' je odnos u Euklidskoj[[euklidska geometrija|euklidskoj]] [[geometrija|geometriji]] između tritriju stranicestranica [[pravougli trougao|pravouglog trougla]]. TeoremNazvana je nazvan po grčkom[[Pitagora|Pitagori]], [[Antička Grčka|starogrčkom]] [[filozofija|filozofu]] i matematičaru[[matematičar]]u iz [[6. vijekvijeka p. n. e., iako je bila poznata [[Stara Indija|6.indijskim]], vijekagrčkim, p.[[Stara n.Kina|kineskim]] ei [[babilon]]skim matematičarima puno prije nego što je on živio. Prvi poznati dokaz Pitagorine teoreme može se naći u [[Euklid]]ovim ''Elementima''.
[[Pitagora|Pitagori]], iako je teorem bio poznat indijskim, grčkim, kineskim i babilonskim matematičarima puno prije nego što je on živio. Prvi poznati dokaz Pitagorinog teorema može se naći u Euklidovim 'Elementima''.
 
Pitagorin [[teorem]]Teorema kaže:
 
''Površina kvadrata nad hipotenuzom jednaka je jednaka zbiru površina kvadrata nad katetama. ''
 
Pravougli trougao je [[trougao]] sas jednim pravim uglom (od 90 stepeni). [[kateta|Katete]] su dvije strane koje čine pravi ugao, a [[hipotenuza]] je treća strana suprotna desnom uglu. UNa slici ispod, ''a'' i ''b'' su katete pravuglogprav0uglog trokutatrougla, a ''c'' je hipotenuza:
 
== Historija ==
{{Trigonometrija}}
[[Pitagora]] je shvatio teoremteoremu u ovom geometrijskom stilu, kao iskaz o površinama kvadrata:
 
''Zbir površina plavog i crvenog kvadrata sujednak jednakeje površini ljubičastog kvadrata.''.
 
Koristeći se [[algebra|algebrualgebrom]], ova teorema može se preformulirati ovaj teorem u moderni izraz sas opaskom da je [[površina]] [[kvadrat]]a kvadrat dužine njegove stranice:
 
UzimajučiUzimajući da je trougao sas katetama dužina ''a'' i ''b'' i hipotenuze dužine ''c'', onda vrijedi
 
'''''a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>'''''.
 
== Dokazi ==
Ovo je teoremteorema kojikoja može imati više poznatih dokaza nego bilo kojikoja drugidruga (pravilo [[kvadratna recipročnost|kvadratne recipročnosti]] također je poznato po mnogim dokazima); knjiga ''Pythagorean Proposition'', koju je napisala [[Elisha Scott Loomis]], sadrži 367 dokaza.▼
 
Neki argumenti baziranizasnovani na [[trigonometrijski identitet|trigonometrijskim identitetima]] (kao što je [[Taylorov red]] za [[sinus]] i [[kosinus]]) predloženi su kao dokaz za teoremteoremu. Međutim, pošto su svi temeljni trigonometrijski identiteti dokazani preko PitagorinogPitagorine teoremateoreme, u obzir se ne mogu uzimati trigonometrijski dokazi.▼
▲Ovo je teorem koji može imati više poznatih dokaza nego bilo koji drugi (pravilo [[kvadratna recipročnost|kvadratne recipročnosti]] također je poznato po mnogim dokazima); knjiga ''Pythagorean Proposition'', koju je napisala Elisha Scott Loomis, sadrži 367 dokaza.
 
▲Neki argumenti bazirani na [[trigonometrijski identitet|trigonometrijskim identitetima]] (kao što je [[Taylorov red]] za [[sinus]] i [[kosinus]]) predloženi su kao dokaz za teorem. Međutim, pošto su svi temeljni trigonometrijski identiteti dokazani preko Pitagorinog teorema, u obzir se ne mogu uzimati trigonometrijski dokazi.
 
=== Dokaz uz korištenje sličnih trouglova ===
 
[[Datoteka:Proof-Pythagorean-Theorem.svg|mini|desno|Dokaz uz korištenje sličnih trouglova.]]
Kao i većina dokaza PitagorinogPitagorine teoremateoreme, ovaj je baziranzasnovan na [[proporcionalnost (matematika)|proporcionalnosti]] stranica dvadvaju [[sličnost (matematika)|siličnihsličnih]] trouglova.
 
Neka je ''ABC'' pravougli trougao, sas pravim uglom u tački ''C'', kao što je prikazano na slici. [[Visina (trougao)|Visinu]] povlačimo iz tačke ''C'', a tačku ''H'' nazivamo presjekpresjekom te visine sa stranicom ''AB''. Novi trougao ''ACH'' je sličan je našem početnom trouglu ''ABC'', jer oba imaju pravi ugao (po definiciji visine), te dijele ugao u tački ''A'', što znači da će i trićitreći ugao biti isti. Sličnim rezonovanjem, trougao CBH je, također, sličan sas trouglom ''ABC''. Sličnosti vode do dvijedviju relacije..relacija:
Kako je
:<math> BC=a, AC=b, \text{ i } AB=c, \!</math>
Line 40 ⟶ 38:
Ovo se može pisati kao
:<math>a^2=c\times HB \mbox{ i }b^2=c\times AH. \,</math>
Sumiranjem oveovih dvijedviju jednakosti, dobijamo
:<math>a^2+b^2=c\times HB+c\times AH=c\times(HB+AH)=c^2 .\,\!</math>
Drugim riječima, PitagorinPitagorina teoremteorema:
:<math>a^2+b^2=c^2.\,\!</math>
 
== Također pogledajte ==
 
* [[Pitagora]]
* [[Kvadratni korijen odiz 2]]
 
== Vanjski linkovi ==
{{Commonscat|Pythagorean theorem}}▼
 
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.html Nekoliko dokaza Pitagorine teoreme]
* [http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd09xx/EWD975.PDF Dijkstra's generalization]
* [http://www.tmeg.com/bab_mat/bab_mat.htm Babilonska ploča kao dokaz poznavanja teoreme]
 
▲{{Commonscat|Pythagorean theorem}}
 
[[Kategorija:Ugao]]
Preuzeto iz "https://bs.wikipedia.org/wiki/Pitagorina_teorema"