Wikipedia

Razlika između verzija stranice "Numerička integracija"

Pregled historije
[nepregledana izmjena][pregledana izmjena]
← Starija izmjenaNovija izmjena →
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
VizualnoWikitekst
m konačan postaje određen
m "možemo" postaje "može" se i sl., manje popravke
Red 2:
U [[Numerička analiza|numerici]], '''numerička integracija''' se sastoji od velike porodice algoritama za računanje numeričke vrijednosti određenog integrala, a termin je takođe korišten da opiše numeričko rješenje [[Diferencijalna jednačina|diferencijalne jednačine]]. Termin '''numerička kvadratura''' je manje-više sinonim za numeričku integraciju, pogotovo za jednodimenzionalne integrale. Numerička integracija u više dimenzija se opisuje kao '''kubatura''',<ref>{{MathWorld | urlname=Cubature | title=Cubature }}</ref> iako se izrazom ''kvadratura ''podrazumijeva i višedimenziona integracija.
 
Osnovni problem u numeričkoj integraciji je sračunatiizračunati približnu vrijednost određenog integrala:
 
:<math>I=\int_a^b\! f(x)\, dx</math>
Red 10:
== Historija ==
{{main|Kvadratura (matematika)}}
'''Kvadratura '''je matematički terminhistorijski iz historijepojam, a znači računanje površine. Kvadraturni problemi su bili glavni zadaci koji su se zadavali kao izvor za [[Matematička analiza|matematičku analizu]]. Matematičari [[Stara Grčka|Stare Grčke]], prema Pitagorinoj doktrini, shvatili su računanje površine kao proces konstrukcije geometrijskog kvadrata koji ima jednaku površinu (''kvadriranje''). To je razlog zašto je proces nazvan '''kvadratura'''. Naprimjer,: kvadratura kruga, hipokratov mjesec, i kvadratura parabole. Ova konstrukcija mora biti izvedena jedino upotrebom šestara i lenjira.
 
[[Datoteka:Mitjana geomètrica amb teorema de l'altura.PNG|thumb|left|220px|Stara metoda traženja [[Geometrijska sredina|geometrijske sredine]]]]
Za kvadraturu pravougaonika sa stranicama ''a'' i ''b'' potrebno je konstruisati kvadrat sa stranicom: <math>x =\sqrt {ab}</math>
 
<nowiki> </nowiki>U ovu svrhu, moguće je koristiti sljedeću činjenicu: ako nacrtamose nacrta krug sa zbirom stranica ''a'' i ''b'' kao prečnik, onda je visina BH (sa tačke njihovog dodira do presjecanja sa krugom) jednaka njihovoj geometrijskoj sredini. Jednaka geometrijska konstrukcija rješava problem kvadrature paralelograma i trougla.
 
[[Datoteka:Parabola and inscribed triangle.svg|thumb|200px|<p>Površina segmenta parabole</p>]]
Red 45:
Važan dio analize bilo koje numeričke integracione metode je proučavanje ponašanja greške aproksimacije kao funkcija broja broja procjene integranda. Metoda koja ima malu grešku za mali broj procjena je često smatran superiornim. Smanjenjem broja procjena integranda, smanjuje se i broj korištenih aritmetičkih operacija, te se smanjuje ukupna greška proračuna. Takođe, svaka procjena uzima vrijeme, a integrand može biti svojevoljno komplikovan.
 
''Brute force'' metoda ("nasilna metoda" koja koristi sve kombinacije) numeričkog integrisanja može biti obavljena, ako integrand ima "dobro ponašanje" (tj. ako je funkcija kontinualna i iz ograničene varijacije), sa procjenom integranda sa veoma malim korakom - inkrementom.
 
===Kvadraturna pravila bazirana na interpolaciji funkcija===
Red 62:
 
[[Datoteka:Integration simpson.png|frame|Ilustracija Simpsonovog pravila.]]
Za bilo koje od ovih pravila možemose može napraviti preciznijupreciznija aproksimaicjuaproksimacija prekidanjem intervala [a, b] na veći broj podintervala, računajući aproksimaciju za svaki podinterval, te sabirajući sve u jedan rezultat. Ovo se zove ''kompozitno pravilo'', ''prošireno pravilo'' ili ''iterativno pravilo''. Naprimjer, kompozitno trapezno pravilo ima slijedeći oblik:
 
:<math>\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{n} \left( {f(a) \over 2} + \sum_{k=1}^{n-1} \left( f \left( a+k \frac{b-a}{n} \right) \right) + {f(b) \over 2} \right)</math>
Red 74:
Ako dopustimo da intervali između interpolacionih tačaka variraju, onda nalazimo novu grupu kvadraturnih formula, kao što je Gausova kvadraturna formula. Gausovo kvadraturno pravilo je još preciznije od Newton-Cotesovog pravila koje zahtjeva jednak broj iteracija ako je funkcija koja se integriše (integrand) glatka krivulja (npr, ako je dovoljno diferencijabilna). Ostale kvadraturne metode sa varijacijom intervala uključuju Clenshaw–Curtis kvadraturne metode (također zvane Fejér kvarature), koje se gnijezde.
 
Gausova kvadraturna pravila nemaju gniježdenjeosobinu gniježđenja, ali Gauss–Kronrod kvadraturne formule imaju.
 
=== Prilagodljivi algoritmi ===
Red 121:
= \left| \int_a^b (x - a) f'(v_x)\, dx \right|</math> (*)
 
MožemoMože se dalje aproksimirati integral na desnoj strani nejednakosti ubacujući apsolutnu vrijednost u integrand i smjenom slova u ''f' '' prema gornjoj granici:
 
: <math>\left| \int_a^b f(x)\,dx - (b - a) f(a) \right| \leq {(b - a)^2 \over 2} \sup_{a \leq x \leq b} \left| f'(x) \right|</math> (**)
 
Ako aproksimiramo integral '''∫<sub>''a''</sub><sup>''b''</sup>&nbsp;''f''(''x'')&nbsp;d''x''''' sa kvadraturnim pravilom (''b''&nbsp;−&nbsp;''a'')''f''(''a''), naša greška nije veća od one na desnoj strani kod (**). MožemoOvo ovose može pretvoriti u analizu greške za Riemannovu sumu (*), davajući gornju granicu od
 
: <math>{n^{-1} \over 2} \sup_{0 \leq x \leq 1} \left| f'(x) \right|</math>
 
za izražavanje greške od određene aproksimacije. (Komentar: U ovom primjeru je ovo greška koju smo sračunali za primjer <math>f(x) = x</math>.) Koristeći više izvoda i popravljanja kvadrature možemomože se dobiti istuista greškugreška analize koristeći se [[Taylorov red|Taylorovim redovima]] (koristeći parcijalnu sumu sa ostatkom) za ''f''. Ova analiza greške daje striktnu gornju granicu greške ako postoje izvodi za ''f''.
 
Ova metoda integracije može biti kombinovana sa ''aritmetikom intervala'' da kreira računarski dokaz i ''verificirane'' proračune.
Preuzeto iz "https://bs.wikipedia.org/wiki/Numerička_integracija"