Razlika između verzija stranice "Ravan"
| [nepregledana izmjena] | [pregledana izmjena] |
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
m Automatsko dodavanje sekcije "Također pogledajte" |
spašeno :) |
||
Red 1:
[[Datoteka:Intersecting planes.svg|thumb|Presijek dvije ravne u trodimenzionalnom prostoru]]
U [[matematika|matematici]], '''ravan''' je ravni dvodimenzionalni [[površ]], analogon [[Tačka (geometrija)|tački]] (nula dimenzija), [[Prava (geometrija)|pravi]] (jedna dimenzija) i punom tijelu (tri dimenzije). Ravni mogu nastati kao podprostori nekog većeg dimenzionalnog prostora, kao na primjer zidovi neke sobe, ili mogu postojati kao nezavisni objekti u smislu [[Euklidova geometrija|Euklidove geometrije]].
== Ravan u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru ==
[[Datoteka:Planes parallel.svg|thumb|right|200px|Tri paralelna ravna]]
=== Osobine ===
Sljedeći iskazi važe u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru, ali ne u višim dimenzijama (i ako imaju više dimenzionalne analogone):
* Dva ravna su ili paralelni, ili se presjecaju u nekoj liniji.
* Linija je ili paralelna ravnu, presjeca ravan u jednoj tački, ili se potpuno nalazi u njemu.
* Linije okomite prema istoj ravni se nalaze paralelno jedne od druge.
* Dva ravna okomite prema istoj liniji se nalaze paralelno jedno od druge.
=== Opisivanje ravna kroz tri tačke ===
Neka su {{math|'''p'''<sub>1</sub>{{=}}(x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>, z<sub>1</sub>)}}, {{math|'''p'''<sub>2</sub>{{=}}(x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>, z<sub>2</sub>)}}, i {{math|'''p'''<sub>3</sub>{{=}}(x<sub>3</sub>, y<sub>3</sub>, z<sub>3</sub>)}} [[kolinearnost|nekolinearne]] tačke. Na osnovu ovih tačaka možemo upotrebiti jednu od sljedeće tri metode da bi opisali ravnu.
==== Metoda 1 ====
Ravan koji prolazi kroz {{math|'''p'''<sub>1</sub>}}, {{math|'''p'''<sub>2</sub>}}, i {{math|'''p'''<sub>3</sub>}} se može opisati kao [[skup]] svih tačaka (x,y,z) koje zadovoljavaju sljedeće [[determinant]]ne jednačine:
:<math>\begin{vmatrix}
x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1 \\
x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1
\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}
x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
x - x_2 & y - y_2 & z - z_2 \\
x - x_3 & y - y_3 & z - z_3
\end{vmatrix} = 0. </math>
==== Metoda 2 ====
Ravan je također moguće opisati kao jednačinu forme <math> ax + by + cz + d = 0 </math>, gdje se sljedeći sistem jednačina treba riješiti:
:<math>\, ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 0</math>
:<math>\, ax_2 + by_2 + cz_2 + d = 0</math>
:<math>\, ax_3 + by_3 + cz_3 + d = 0.</math>
Ovaj sistem se može riješiti koristeći [[Kramerovo pravilo]] i osnovne [[Matrica (matematika)|matrične]] manipulacije:
: <math>D = \begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & z_1 \\
x_2 & y_2 & z_2 \\
x_3 & y_3 & z_3
\end{vmatrix}</math>.
Ako ''D'' nije nula (ravni koji ne prolaze kroz [[koordinatni početak]]) vrijednosti za ''a'', ''b'' i ''c'' se mogu izračunati na sljedeći način:
:<math>a = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix}
1 & y_1 & z_1 \\
1 & y_2 & z_2 \\
1 & y_3 & z_3
\end{vmatrix}</math>
:<math>b = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix}
x_1 & 1 & z_1 \\
x_2 & 1 & z_2 \\
x_3 & 1 & z_3
\end{vmatrix}</math>
:<math>c = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1
\end{vmatrix}.</math>
Ove jednačine su parametrične u ''d''. Stavljajući ''d'' da bude jednak bilo kojem nenultnom broju i zamjenjujući njega u ovim jednačinama daje skup solucija.
==== Metoda 3 ====
Treća metoda za opisivanje ravna je sa "tačkom i [[površinska normala|površinskom normalom]]". Zadovoljavajuća površinska normala se dobiva [[Vektorski prozivod|vektorskim proizvodom]]
:<math>\bold n = ( \bold p_2 - \bold p_1 ) \times ( \bold p_3 - \bold p_1 ), </math>
i tačkom {{math|'''r'''<sub>0</sub>}} koja može biti bilo koja od tačaka {{math|'''p'''<sub>1</sub>}},{{math|'''p'''<sub>2</sub>}} ili {{math|'''p'''<sub>3</sub>}}.<ref name=PaulsPlanes>{{citation
|last= Dawkins
|first= Paul
|title= Calculus III
|chapter= Equations of Planes
|chapterurl= http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/EqnsOfPlanes.aspx
}}
</ref>
== Također pogledajte ==
* [[Poluravan]]
* [[Hiperravan]]
== Reference ==
{{reference}}
== Vanjski linkovi ==
* {{en simbol}} {{MathWorld|naslov=Ravan|urlnaziv=Plane}}
{{Commonscat|Linear planes}}
[[Kategorija:
[[Kategorija:Površine]]
[[Kategorija:Matematički koncepti]]
| |||