Razlika između izmjena na stranici "Prsten (matematika)"

Uklonjena 82 bajta ,  prije 11 godina
m
robot Mijenja: sr:Алгебарски прстен; kozmetičke promjene
m (robot Mijenja: sr:Алгебарски прстен; kozmetičke promjene)
U [[matematika|matematici]], '''prsten''' je bilo koji [[neprazan skup|neprazan]] [[skup (matematika)|skup]] R zajedno s dvije [[binarna operacija|binarne operacije]] + (sabiranje elemenata prstena) i ·· (množenje elemenata prstena), tako da vrijedi:
 
# (R, +) je [[abelova grupa]], tj. ∀ a, b, c ∈ R vrijedi:
* asocijativnost sabiranja:
: (a + b) + c = a + (b + c)
* neutralni element za sabiranje
: (∃ 0)(0 ∈ R) takav da je a + 0 = 0 + a = a
*∀ a∈R ∃a∈R ∃ suprotni element -a∈Ra∈R takav da je
: a + (-a) = (-a) + a = 0
* komutativnost sabiranja
: a + b = b + a
 
# (R, ··) je [[polugrupa]], tj. množenje na R je asocijativno
: (ab)c = a(bc)
 
# operacije sabiranja i množenja su međusobno usklađene zakonima distribucije:
: ∀ a, b, c ∈ R vrijedi :
: a(b + c)= ab + ac i (a + b)c = ac + bc
 
== Primjeri ==
 
* Trivijalni prsten {0} ima samo jedan element koji je neutralni element i za sabiranje i za množenje
* Prsten [[cijeli brojevi (matematika)|cijelih brojeva]] s operacijama sabiranja i množenja. To je [[komutativnost (matematika)|komutativan]] prsten
** [[Racionalni brojevi (matematika)|Racionalni]], [[Realni brojevi (matematika)|realni]] i [[Kompleksni brojevi (matematika)|kompleksni]] brojevi tvore prstene (štoviše, oni su i [[Polje (matematika)|polja]]).
* [[Gaussovi cijeli brojevi]] tvore prsten.
* Prsten polinoma ''R''[X] s koeficijentima iz prstena ''R'' je također prsten.
* ''Primjer nekomutativnog prstena'': Za bilo koji prsten ''R'' i proizvoljan prirodan broj ''n'', skup svih kvadratnih n×nn×n matrica s koeficijentima iz ''R'', tvori prsten s operacijama sabiranja i množenja matrica kao pripadnim operacijama. Za n = 1, ovaj prsten matrica je (izomorfan s) ''R''. Za n≥2n≥2, ovaj prsten matrica je primjer ''nekomutativnog prstena'' (osim ako je ''R'' trivijalan prsten).
* ''Primjer konačnog prstena'': Ako je ''n'' pozitivan cijeli broj, onda skup <math>\mathbb{Z}_{n} = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> cijelih brojeva modulo ''n'' (koji je kao aditivna grupa [[Ciklička grupa (matematika)|ciklička grupa]] reda ''n'') tvori prsten s ''n'' elemenata.
 
 
Iz aksioma se izravno može zaključiti da ako je <math>R</math> prsten, <math>\forall a, b \in R</math> imamo:
* <math>0 \cdot a = a \cdot 0 = 0</math>
* <math>(-1)\cdot a = -a</math>
* <math>(-a)\cdot b = a\cdot (-b)</math>
* <math>(a\cdot b)^{-1} = b^{-1}\cdot a^{-1}</math>, pod uvjetom da su i ''a'' i ''b'' invertibilni.
 
Ostali osnovni teoremi:
 
* Neutralni element 1 je jedinstven
* Ako element prstena ima inverz za množenje, onda je taj inverz jedinstven.
* Ako prsten ima barem dva elementa, onda je 0 ≠ 1
 
[[Kategorija:Matematika]]
[[sk:Okruh (algebra)]]
[[sl:Kolobar (algebra)]]
[[sr:Алгебарски прстен]]
[[sr:Прстен (математика)]]
[[sv:Ring (matematik)]]
[[ta:வளையம் (கணிதம்)]]
66.705

izmjena