Normala

Normala je prava ili vektor koji je okomit na objekt o kojem se govori (npr. normala na krivu, normala na površ)

U datoj ravni u kojoj je data prava a i tačka P postoji jedna i samo jedna prava koja prolazi kroz datu tačku i normalna je na datu pravu. Pravu koja prolazi kroz datu tačku i normalna je na pravu nazivamo normalom (okomicom) prave u tački .

Pravi ugaoUredi

Ako imamo dvije normalne prave   i   i uglove koje one čine α1; α2; α3 i α4,. U simetriji sb preslikavaugao α1 na α4, ugao α2; na α3. Iz ovog zaključujemo da je α1 = α4 i α2 = α3.

Definicija 1

Svaki od uglova koje čine normalne prave je pravi ugao.

Teorema 1

Dvije različite prave u jednoj ravni normalne na treću pravu u toj ravni su paralelne prave.

Definicija 2

Tačka X0, u kojoj normala u tački X na datu pravu a sijeće pravu a zove se ortogonalna projekcija tačke X na pravu a. Ortogonalnu projekciju krače zovemo samo projekcija.

Normalne 2 praveUredi

Za dvije prave u ravni kažemo da su normalne ako zatvaraju pravi ugao.

Definiciju proširimo i na prave koji ne leže u istoj ravni, tj na mimoilazne pravce.

Neka su   i   dvije mimoilazne prave. Odaberimo jednu tačku   na pravoj  . Kroz tu tačku prolazi tačno jedna prava paralelna s pravom   (prema Petom Euklidovom aksiomu). Označimo tu pravu sa  .

Kažemo da su prave   i   su norrmalne ako su prave   i   normalne.Pišemo  .

Normalnost prave i ravniUredi

Kažemo da je prava   normalna na ravan   ako je normalna na svaku pravu te ravni.

Teorema

Prava je normalna na ravan ako je normalna na neke dvije neparalelne prave te ravni.

Ravan je određena jednom svojom tačkom i nekom pravom koja je normalna na nju

Normalnost dvije ravniUredi

Definicija

Kažemo da je ravan normalna na drugu ravan ako sadrži pravu koja je normalna na tu ravan.

Za datu tačku   i datu ravan   postoji jedinstvena prava kroz   koja je normalna na ravan  

Definicija

Ortogonalna projekcija tačke   na ravan   je probodište ravni   i prave   koja prolazi kroz   i normalna je na  .

Teorema o tri normaleUredi

Ako je ortogonalna projekcija   prave   na ravan   normalna na neku pravu   te ravni, onda je i prava   normalna na  .

Vrijedi i obratno

Ako je prava   normalna na  , onda je   normalna na  .

Normala na površUredi

 
Vektorsko polje normala na površinu

Vektor normale na površ u tački   je vektor normalan na tangentnu ravan površi u tački  . U slučaju ravne površi, očito je to vektor normalan na samu tu ravan, i dat je vektorskim proizvodom bilo kojih dvaju vektora koji leže u ravni. Ravan može imati normalu u dva smjera.

Normala na opštu površ, parametriziranu sistemom krivolinijskih koordinata  , gdje su   i   realne promjenljive, data je vektorskim proizvodom parcijalnih derivacija po respektivnim koordinatama:

 

Normala na opštu površ, zadatu implicitno jednačinom

 

u toački   data je gradijentom:

 

IzuzečeUredi

Ako određena površ u nekoj tački nema definisanu tangentnu ravan, onda tu nema definisanu ni normalu. Tako, npr., valjak nema definisanu normalu na spoju omotača i baze, kupa nema normale u vrhu, u dvije dimenzije, funkcija   nema definisanu normalu u koordinantnom početku.

JedinstvenostUredi

Već smo kod normale na krivu mogli nazreti da normala nema jedinstven smjer. Vektor normale na pravu već ima dva moguća smjera. Za orjentisanu površ, normala se određuje pravilom desne ruke, tj., rečeno intuitivno, „gleda prema van”.

IzvoriUredi

Tangenta i normala

Stereometrija