Kupa (geometrija)

Opći konus
Rotacioni konus (lijevo) i kosi konus (desno).

Konus je oblo geometrijsko tjelo, koje nastane kao presjek konusnog prostora i sloja ravni.

Dio konusnog prostora, koji tvori površinu konus naziva se omotač ili plašt konusa. Ravni rez konusnog prostora koji graniči sa slojem ravni naziva se osnova. Tačka, u kojoj se rez ravni reducira u tačku se naziva vrh konusa. Okomita udaljenost između baze i vrha se naziva visina konusa. Udaljenost između baze i vrha konusa, po omotaču se naziva ivica konusa.

Ukoliko je baza konusa krug, onda je to kružni konus. Ukoliko okomica iz vrha na ravan baze prolazi sredinom baze kružnog konusa, to je rotacioni konus ili. Ako je kružni konus neokomit onda se naziva kosi.

Konusni prostorUredi

 
Konusni prostor

Neka imamo zatvorenu krivu  , koja leži u ravni. tačke, koje pripadaju pravoj koja prolazi proizvoljnom tačkom krive   i vrhom   koji leži van krive   čini konsovu oblast. Dio prostora omeđena konusovom oblasti se zove konusovi prostor.

Konusova oblast je skup tačaka u prostoru, koja nastane iz konusa tako, što se odstrani baza konusa i svaka duž omotača produži na pravu.

JednačineUredi

Konusna oblast (kvadratni konus) s vrhom u početku, koja u ravni   prolazi elipsom  , ima jednačinu

 

Ta oblast je asimptotska oblast (asimptotski konus) hiperboloida

 

Za   radi se o rotacionom konusu sa osom rotacije  .


Konusova oblast sa vrhom u tački   je moguće izraziti jednačinom

 

OsobineUredi

Za volumen konusa vrijedi

 ,

gdje   je površina baze a   je visina konusa.

Rotacioni konusUredi

 
Rotacioni konus

Rotacioni konus je rotaciono tjelo nastalo obrtanjem pravouglog trougla u prostoru oko jedne od kateta. Obrtanjem druge katete nastane baza konusa, obrtanjem hipotenuze nastane omotač konusa. U osnovi omotač konusa je „smotani“ kružni isječak. Zajednička tačka ose rotacije i hipotenuze je vrh konusa.

OsobineUredi

Konusni presjeciUredi

Sa geometrijskog stajališta konusni presjeci su nastali presjekom konusove površi i neke ravni. Razlikujemo:

Singularni rez konusa - ako ravan reza prolazi vrhom konusa, mogu nastati tri slučaja:

  • presjek je tačka (vrh konusa), ako je ugao, kojeg ravan reza zaklapa s osom konusa, veći nego ugao, kojeg obrazuju prave konusnog položaja sa konusnom osom
  • presjek je prava koja leži na konusovoj površi, ako je ugao, kojeg ravan reza zaklapa sa osom konusa jednak uglu, kojeg obrazuju prave konusnog položaja sa konusnom osom
  • presjek su dvije prave, koje prolaze vrhom konusa, ako je ugao, kojeg ravan reza zaklapa sa osom konusa, manji nego ugao, kojeg obrazuju prave konusnog položaja sa konusnom osom

Regularni rez konusa - ako ravan reza ne prolazi vrhom konusa, mogu nastati četiri slučaja:

  • presjek je kružnica, ako ravan reza okomita na osu konusa
  • presjek je elipsa, ako je ugao, kojeg ravan reza obrazuje sa osom konusa, veći nego ugao, kojeg obrazuju prave konusnog položaja sa konusnom osom, ali ravan reza nije okomita na osu konusa
  • presjek je parabola, ako je ugao, kojeg ravan reza zaklapa sa osom konusa jednak uglu, kojeg obrazuju prave konusnog položaja sa konusnom osom
  • presjek je hiperbola, koje prolaze vrhom konusa, ako je ugao, kojeg ravan reza zaklapa sa osom konusa, manji nego ugao, kojeg obrazuju prave konusnog položaja sa konusnom osom

 

Također pogledajteUredi