Gram-Schmidtov postupak
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). |
Ovaj članak je siroče zato što nema ili vrlo malo ima drugih članaka koji linkuju ovamo. |
Gram-Schmidtov postupak je metoda u linearnoj algebri koja služi za ortogonalizaciju skupa vektora u zadanom euklidskom prostoru.
Postupak je sljedeći: Uzmimo na primjer vektorski prostor proizvoljne dimenzije Rn baze {v1, v2, ... ,vn}, Gram-Schmidtovim postupkom ortogonalizacije možemo transformirati bazu {vi} u ortonormiranu bazu, {ui}. Prvo normaliziramo v1: u1=v1/||v1||.
Nakon toga izračunavamo:w2=v2-<v2,u1>u1, pa normaliziramo w2: u2=w2/||w2||
Ovaj postupak primjenimo za sve vektore iz baze {vi}: wi+1=vi+1-<vi+1,uiui>- ... - <vi+1,u1>u1 i ui+1=wi+1/||wi+1||. Vektori {u1, ... ,vn} su linearno nezavisni, i stoga čine bazu vektorskog prostora Rn.
Primjer uredi
Uzmimo sljedeći skup vektora u Rn (sa uobičajenim skalarnim produktom)
Sad primjenimo Gram-Schmidtov postupak kako bismo dobili ortogonalni skup vektora:
Provjerimo vektore u1 i u2 kako bismo utvrdili da su zaista ortogonalni:
Sada ih možemo normalizirati, tako što ćemo ih podijeliti s njihovim dužinama: