Vektorsko polje

U matematici, vektorsko polje je konstrukcija u vektorskom kalkulusu koja povezuje vektor sa svakom tačkom u podskupu Euklidovog prostora.

Vektorsko polje zadato vektorima oblika <−y, x>

Vektorska polja se često koriste u fizici kako bi se stvorio model, naprimjer, brzine i provca kretanja fluida kroz prostor, ili jačine i pravca neke sile, kao što su magnetna ili gravitaciona sila, dok se ona mijenja od tačke do tačke.

U rigoroznijim matematičkim postupcima, (tangentna) vektorska polja definisana su na višestrukostima kao presjeci snopa tangenti od višestrukosti . Ona su jedna vrsta tenzorskog polja na višestrukosti.

Definicija

Vektorska polja na podskupovima Euklidovog prostora

Za dati podskup S u Rⁿ, vektorsko polje je predstavljeno kao vektorska funkcija $V:S\to \mathbf {R} ^{n}$ u standardnim Dekartovim koordinatama (x₁, ..., x_n). Ako je S otvoreni skup, tada je V neprekidna funkcija, uz uslov da je svaka komponenta od V neprekidna, te općenitije, V je C^k vektorsko polje ako je svaka komponeneta od V k puta neprekidno diferencijabilna.

Vektorsko polje može se prikazati kao n-dimenzionalni prostor sa n-dimenzionalnim vektorom vezanim za svaku tačku. Za data dva C^k-vektorska polja V, W definisana na S i za realnu C^k-funkciju f definisanu na S, dvije operacije skalarnog množenja i cektorskog sabiranja

$(fV)(p):=f(p)V(p)\,$

$(V+W)(p):=V(p)+W(p)\,$

definišu modul od C^k-vektorskog polja preko prestena od C^k-funkcija.

Zakon transformacije koordinata

U fizici, vektor se dodatno razlikuje po tome kako se njegove koordinate mijenjaju kada se posmatra jedan vektor u odnosu na različite koordinatne sisteme. Transformacione osobine vektora odlikuju vektor kao geometrijski različit entitet od jednostavnog spiska skalara, ili od kovektora.

Zbog toga, pretpostavimo da je (x₁,...,x_n) odabir Dekartovih koordinata, u smislu da su koordinate vektora V

$V_{x}=(V_{1,x},\dots ,V_{n,x})$

i pretpostavimo da su (y₁,...,y_n) n funkcije od x_i, koje definišu drugi koordinatni sistem. Tada koordinate vektora V u novim koordinatama treba da zadovolje zakon transformacije

$V_{i,y}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial y_{j}}{\partial x_{i}}}V_{j,x}.$

( 1)

Zakov zakon transformacije naziva se kontravarijant. Sličan zakon transformacije karakteriše vektorska polja u fizici: specifično, vektorsko polje je specifikacija od n funkcija u svakom koordinatnom sistemu koji je predmet zakona transformacije (1 ), koji povezuje različite koordinatne sisteme.

Vektorska polja su, zbog toga, u suprotnosti sa skalarnim poljima, koja pridodaju broj ili skalar svakoj tački u prostoru, te su, također, u suprotnosti sa jednostavnin spiskom skalarnih polja, koji se ne transformišu pri promjenama koordinata.

Primjeri

Polje strujanja oko zakoplova je vektorsko polje u R³, ovdje prikazano preko mjehurića koji slijede strujne linije, formirajući vrtlog vrha krila.

• Vektorsko polje za kretanje zraka na Zemlji povezat će, svaku tačku na površini Zemlje, vektor brzine vjetra i pravcem za tu tačkut.Ovo se može nacrtati korištenjem strelic, koje predstavljuju vjetar; dužina (intenzitet) strelice će biti indikacija brzine vjetra. "Visoko" na uobičajnoj karti barometarskog pritiska bi se tada ponašalo kao izvor (strelica pokazuju od), a "nisko" bi bilo ponor (strelica pokazuje prema), pošto zrak teži da se kreće od oblasti visokog ka oblastima niskog pritiska.
• Polje brzine fluida u pokretu. U ovomslučaju, vektor brzineve je vezan za svaku tačku u fluidu.
• Magnetna polja. Linije polja mogu se vidjeti pomoću sithih čestica željeza (željezni opiljci).
• Maxwellove jednačine nam dozvoljavaju da koristimo skup početnih uslova kako bi, za svaku tačku u Euklidovom prostoru, odredili intenzitet i pravac sile koju trpi nabijena testna čestica u svakoj tački; rezultujuće vektorsko polje naziva se elektromagnetno polje.
• Gravitaciono polje, koje stvara bilo koji objekat velike mase, je, također, vektorsko polje. Naprimjer, svi vektori gravitacionog polja, za sferično simetrično tijelo, bi pokazivali prema centru sfere, dok bi se intenzitet vektora smanjivao kako se radijalna udaljenost povećava.

Gradijentno polje

Vektorska polja mogu se konstruisati izvan skalarnih polja pomoću operatora gradijenta (čija je oznaka nabla: $\nabla$), koji daje slijedeću definiciju:

Vektorsko polje V definisano na skupu S naziva se gradijentno polje ili konzervativno polje ako postoji funkcija realne vrijednosti (skalarno polje) f na S, tako da je

$V=\nabla f={\bigg (}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}{\bigg )}$.

Prateći protok naziva se gradijentni protok, a koristi se u metodu gradijentnog pada.

Linijski integral duž bilo koje zatvorene krive γ (γ(0) = γ(1)) u gradijentnom polju je nula:

$\int _{\gamma }\langle V(x),\mathrm {d} x\rangle =\int _{\gamma }\langle \nabla f(x),\mathrm {d} x\rangle =f(\gamma (1))-f(\gamma (0))$.

Centralno polje

C^∞-vektorsko polje nad Rⁿ \ {0} naziva se centralno polje ako je

$V(T(p))=T(V(p))\qquad (T\in \mathrm {O} (n,\mathbf {R} ))$

gdje je O(n, R) ortogonalna grupa. Kažemo da su centralna polja invarijanta pod orhogonalnim transformacijama oko 0.

Tačka 0 naziva se centar polja.

Pošto su ortogonalne transformacije ustvari rotacije i refleksije, uslovi invarijanse znače da su vektori centralnog polja uvijek usmjereni ka, ili od, nule; ovo je alternativna (i jednostavnije) definicija. Centralno polje je uvijek gradijentno polje, pošto je nam njegovo definisanje na jednoj poluosi i njegovo integrisanje daje antigradijent.

Operacije na vektorskim poljima

Linijski integral

Glavni članak: Linijski integral

Uobičajna tehnika u fizici je da se integriše vektorsko polje duž krive: linijski integral. Za datu česticu u gravitacionom vektorskom polju, gdje svaki vektor predstavlja silu koja djeluje na česticu u toj tački u prostoru, linijski integral je rad napravljen nad česticom kada ona putuje po određenoj putanji.

Linijski integral se konstruiše analogno Riemannovom integralu i prostoji ako je kriva rektifibična (ako ima konačnu dužinu) i ako je vektorsko polje neprekidno.

Za dato vektorsko polje V i krivu γ, paramatrizovanu sa [0, 1], linijski integral je definisan kao

$\int _{\gamma }\langle V(x),\mathrm {d} x\rangle =\int _{0}^{1}\langle V(\gamma (t)),\gamma '(t)\;\mathrm {d} t\rangle .$

Divergencija

Glavni članak: Divergencija

Divergencija vektorskog polja u Euklidovom prostoru je funkcija (ili skalarno polje). U tri dimenzije, divergencija je definisana kao

$\operatorname {div} \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}},$

sa očitim uopćenjem sa proizvoljnim dimenzijama. Divergencija u tački predstavlja stepen do kojeg je mala zapremina oko tačke izvod ili ponor vektorskog strujanja, rezultat koji je preciznije obrađen teoremom divergencije.

Rotor

Glavni članak: Rotor (matematika)

Rotor je operacija koja od jednog vektorskog polja pravi drugo vektorsko polje. Rotor je definisan samo u tri dimenzije, ali neke osobine rotora mogu se zahvatiti u višim dimenzijama sa vanjskom derivacijom. U tri dimenzije, definisan je kao

$\operatorname {rot} \,\mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{1}-\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{2}+\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{3}.$

Rotor mjeri gustoću ugaone količine kretanja vektorskog strujanja u tački, to jest, količinu do koje strujanje kruži oko fiksne ose. Ovaj intuitivni opis bolje je objašnjen sa Stokesovim teoremom.

Historija

Linije magnetnog polja željezne šipke (magnetni dipol)

Vektorska polja nastalu su, prvenstveno, u klasične teorije polja u fizici 19. vijeka, posebno u magnetizmu. Formalisao ih je Michael Faraday, u svom konceptu linija sile, gdje je naglasio da bi samo polje trebalo biti predmet proučavanja.

Također pogledajte

• Linija polja
• Lieva derivacija
• Vektorsko polje zavisno od vremena
• Vektorska polja u cilindričnim i šferičnim koordinatama
• Skalarno polje
• Tenzorsko polje

Vanjski linkovi

• Vector field -- Mathworld
• Vector field Arhivirano 17. 2. 2005. na Wayback Machine -- PlanetMath
• UC Berkeley video lecture on vector fields
• 3D Magnetic field viewer
• Vector Field Simulation Java applet illustrating vectors fields
• Vector fields and field lines Arhivirano 23. 6. 2010. na Wayback Machine
• Vector field simulation An interactive application to show the effects of vector fields