Sinusna teorema
a sin α = b sin β = c sin γ = 2 R , {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,} gdje su a , b , c {\displaystyle \ a,b,c} stranice naspram uglova α , β , γ , {\displaystyle \alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,} u trouglu A B C , {\displaystyle \ ABC,} a R {\displaystyle \ R} poluprečnik opisanog kruga .
U sfernoj geometriji koristi se
sin a sin A = sin b sin B = sin c sin C . {\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}.}
Dokaz
Oko trougla ABC opisana je kružnica poluprečnika R, na slici desno.C A ′ = 2 R {\displaystyle CA'=2R} je prečnik. Periferni uglovi nad istom tetivom B C = a {\displaystyle BC=a} jednaki, tj. α = ∠ B A C = ∠ B A ′ C , {\displaystyle \alpha =\angle BAC=\angle BA'C,} i periferni ugao ∠ C B A ′ {\displaystyle \angle CBA'} nad prečnikom CA' je prav. U pravouglom trouglu A'BC imamo
sin α = a 2 R , {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{2R}},} odnosno a sin α = 2 R . {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.}
Slično dobijamo za uglove β , γ {\displaystyle \beta ,\;\gamma }
Teorema
Simetrala unutrašnjeg ugla trougla dijeli suprotnu stranicu proporcionalne dijelove naleglim stranicama .
Simetrala dijeli ugao S na dva jednaka dijela
∠ A C D = ∠ D C B = ϕ , ( ∠ C = γ = 2 ϕ ) . {\displaystyle \angle ACD=\angle DCB=\phi ,\;(\angle C=\gamma =2\phi ).}
Sinusi suplementnih uglova (koji se dopunjavaju do 180°) su jednaki i prema sinusnoj teoremi za trouglove ACD i DBC dobijamo:
A D : A C = sin ϕ : sin θ , D B : C B = sin ϕ : sin θ . {\displaystyle AD:AC=\sin \phi :\sin \theta ,\quad DB:CB=\sin \phi :\sin \theta .} Otuda je A D : A C = D B : C B , {\displaystyle \ AD:AC=DB:CB,}
Površina trougla
uredi
P = 1 2 b ( c sin γ ) = 1 2 c ( a sin β ) = 1 2 a ( b sin γ ) . {\displaystyle P={\frac {1}{2}}b(c\sin \gamma )={\frac {1}{2}}c(a\sin \beta )={\frac {1}{2}}a(b\sin \gamma )\,.}
2 P a b c = sin α a = sin β b = sin γ c . {\displaystyle {\frac {2P}{abc}}={\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}\,.}
Sinusna teorema se primjenjuje:
Kada su data dva ugla i jedna stranica
Kada se date dvije stranice i ugao naspram jedne od tih stranica Primjer 1
Neka su date stranice trougla a = 20 {\displaystyle a=20} , i c = 24 {\displaystyle c=24} , i ugao γ = 40 ∘ {\displaystyle \gamma =40^{\circ }} .
sin α 20 = sin 40 ∘ 24 . {\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{20}}={\frac {\sin 40^{\circ }}{24}}.} α = arcsin ( 20 sin 40 ∘ 24 ) ≈ 32.39 ∘ . {\displaystyle \alpha =\arcsin \left({\frac {20\sin 40^{\circ }}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.} Primjer 2
U Δ A B C , B C = 7 , ∠ A = 41 ∘ , ∠ B = 62 ∘ . {\displaystyle \Delta ABC,\;BC=7,\;\angle A=41^{\circ },\;\angle B=62^{\circ }.} Naći dužinu stranice AC.
Rešenje:
7 sin 41 ∘ = b sin 62 ∘ ⇒ b = 7 sin 62 ∘ sin 41 ∘ = 9,420 8.... {\displaystyle {\frac {7}{\sin 41^{\circ }}}={\frac {b}{\sin 62^{\circ }}}\Rightarrow b={\frac {7\sin 62^{\circ }}{\sin 41^{\circ }}}=9{,}4208....}
Prema tome
A C = 9 , 42 {\displaystyle AC=9{,}42} .
Primjer 3
U trouglu ABC zadano je A C = 15 , ∠ A = 107 ∘ , ∠ B = 32 ∘ {\displaystyle AC=15,\;\angle A=107^{\circ },\;\angle B=32^{\circ }} naći AB.
Rešenje:
Iz ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180 ∘ , {\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ },} proizlazi ∠ C = 41 ∘ . {\displaystyle \angle C=41^{\circ }.}
Zatim, iz sinusne teoreme
b sin B = c sin C , {\displaystyle {\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}},} tj.
15 sin 32 ∘ = c sin 41 ∘ , {\displaystyle {\frac {15}{\sin 32^{\circ }}}={\frac {c}{\sin 41^{\circ }}},} dobijamo c = 15 ⋅ sin 41 ∘ sin 32 ∘ = 18,570 5.... {\displaystyle c={\frac {15\cdot \sin 41^{\circ }}{\sin 32^{\circ }}}=18{,}5705....}
Prema tome, stranica AB = 18,57. Odnos prema kružnici
uredi
Iz identiteta
a sin A = b sin B = c sin C , {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}},\!} Također pogledajte
uredi
Vanjski linkovi
uredi