U kalkulusu , pravilo derivacije složene funkcije je formula za derivaciju kompozicije dvije funkcije .
U intuitivnim uvjetima, ako varijabla y zavisi od druge varijable u , koja, na kraju, zavisi od treće varijable x , tada se način promjene y o odnosu na x može izračunati kao promjena y o odnosu na u pomnoženo sa načinom promjene u u odnosu na x . Jednostavnije rečeno, derivacija složene funikcije računa se tako da se pomnoži derivacija glavne funkcije sa derivacijom podfunkcije unutar te glavne funkcije (pogledajte primjer I ).
Definicija
uredi
Pravilo derivacija složene funkcije kaže da je
( f ∘ g ) ′ ( x ) = ( f ( g ( x ) ) ) ′ = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) , {\displaystyle (f\circ g)'(x)=(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x),\,} koje se kraće piše u formi ( f ∘ g ) ′ = f ′ ∘ g ⋅ g ′ {\displaystyle (f\circ g)'=f'\circ g\cdot g'} .
Alternativno, u Leibnizovoj notaciji , pravilo derivacije složene funkcije je
d f d x = d f d g ⋅ d g d x . {\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}.} U integraciji , nasuprot pravilu derivacije složene funkcije, stoji pravilo substitucije .
Dokaz pravila derivacije složene funkcije
uredi
Neka f i g budu funkcije i neka x bude broj takav da je f idiferencijabilna kod g(x) i da je g diferencijabilno kod x . Tada je definicija diferencijabilnosti,
g ( x + δ ) − g ( x ) = δ g ′ ( x ) + ϵ ( δ ) δ {\displaystyle g(x+\delta )-g(x)=\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\delta \,} gdje ε (δ ) → 0 kada δ → 0. Slično,
f ( g ( x ) + α ) − f ( g ( x ) ) = α f ′ ( g ( x ) ) + η ( α ) α {\displaystyle f(g(x)+\alpha )-f(g(x))=\alpha f'(g(x))+\eta (\alpha )\alpha \,} gdje η (α ) → 0 kada α → 0. Također definišimo[1] da je
η ( 0 ) = 0 {\displaystyle \eta (0)=0\,} Sada je
f ( g ( x + δ ) ) − f ( g ( x ) ) {\displaystyle f(g(x+\delta ))-f(g(x))\,}
= f ( g ( x ) + δ g ′ ( x ) + ϵ ( δ ) δ ) − f ( g ( x ) ) {\displaystyle =f(g(x)+\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\delta )-f(g(x))\,}
= α δ f ′ ( g ( x ) ) + η ( α δ ) α δ {\displaystyle =\alpha _{\delta }f'(g(x))+\eta (\alpha _{\delta })\alpha _{\delta }\,}
gdje je
α δ = δ g ′ ( x ) + ϵ ( δ ) δ . {\displaystyle \alpha _{\delta }=\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\delta .\,} Uočite da kada δ → 0, αδ /δ → g ′(x ) i αδ → 0, te zbog toga η (αδ ) → 0. Slijedi da je
f ( g ( x + δ ) ) − f ( g ( x ) ) δ → g ′ ( x ) f ′ ( g ( x ) ) as δ → 0. {\displaystyle {\frac {f(g(x+\delta ))-f(g(x))}{\delta }}\to g'(x)f'(g(x)){\mbox{ as }}\delta \to 0.}
Razmotrimo f ( x ) = ( x 2 + 1 ) 3 {\displaystyle f(x)=(x^{2}+1)^{3}} . Imamo f ( x ) = h ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)=h(g(x))} gdje je g ( x ) = x 2 + 1 {\displaystyle g(x)=x^{2}+1} i h ( x ) = x 3 . {\displaystyle h(x)=x^{3}.} Zbog toga,
f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)\,}
= 3 ( x 2 + 1 ) 2 ( 2 x ) {\displaystyle =3(x^{2}+1)^{2}(2x)\,}
= 6 x ( x 2 + 1 ) 2 . {\displaystyle =6x(x^{2}+1)^{2}.\,}
Kako bi diferencirali trigonometrijsku funkciju
f ( x ) = sin ( x 2 ) , {\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}),\,} možemo pisati f ( x ) = h ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)=h(g(x))} sa h ( x ) = sin x {\displaystyle h(x)=\sin x} i g ( x ) = x 2 {\displaystyle g(x)=x^{2}} . Tada dobijamo
f ′ ( x ) = 2 x cos ( x 2 ) {\displaystyle f'(x)=2x\cos(x^{2})\,} pošto je h ′ ( g ( x ) ) = cos ( x 2 ) {\displaystyle h'(g(x))=\cos(x^{2})} i g ′ ( x ) = 2 x {\displaystyle g'(x)=2x} .
Primjer II
uredi
Difercencirajmo arctan sin x {\displaystyle \arctan \,\sin \,x} , itd.
d d x arctan x = 1 1 + x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan \,x\,=\,{\frac {1}{1+x^{2}}}} d d x arctan f ( x ) = f ′ ( x ) 1 + f 2 ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan \,f(x)\,=\,{\frac {f'(x)}{1+f^{2}(x)}}} d d x arctan sin x = cos x 1 + sin 2 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan \,\sin \,x\,=\,{\frac {\cos \,x}{1+\sin ^{2}\,x}}}
^ Da bismo uočili da je ovo potrebno, pretpostavite, na pruimjer, da je g konstantna funkcija.
Također pogledajte
uredi