Osnovno stanje

Osnovno stanje kvantnomehaničkog sistema je njegovo stacionarno stanje najniže energije; energija osnovnog stanja poznata je kao energija nulte tačke sistema. Pobuđeno stanje je bilo koje stanje s energijom većom od osnovnog stanja. U kvantnoj teoriji polja, osnovno stanje se obično naziva vakuumsko stanje ili kvantnomehanički vakuum.

Energijski nivoi za elektron u atomu: osnovno stanje i pobuđeno stanje. Nakon apsorpcije energije, elektron može skočiti iz osnovnog stanja u pobuđeno stanje više energije.

Ako postoji više od jednog osnovnog stanja, kaže se da su degenerisan. Mnogi sistemi imaju degenerisana osnovna stanja. Degeneracija se dešava kad god postoji unitarni operator koji deluje netrivijalno na osnovno stanje i komutira sa Hamiltonijanom sistema.

Prema trećem zakonu termodinamike, sistem na apsolutnoj nuli temperatura postoji u svom osnovnom stanju; stoga je njegova entropija određena degeneracijom osnovnog stanja. Mnogi sistemi, kao što je savršena kristalna rešetka, imaju jedinstveno osnovno stanje i stoga imaju nultu entropiju na apsolutnoj nuli. Takođe je moguće da najviše pobuđeno stanje ima apsolutnu nultu temperaturu za sisteme koji pokazuju negativnu temperaturu.

Odsustvo čvorova u jednoj dimenziji

U jednoj dimenziji, može se dokazati da osnovno stanje Schrödingerove jednadžbe nema čvorove.

Derivacija

Razmotrimo prosječnu energiju stanja sa čvorom na x = 0; tj. ψ(0) = 0. Prosječna energija u ovom stanju bila bi:

$$\langle \psi |H|\psi \rangle =\int dx\,\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)|\psi (x)|^{2}\right),$$

gdje V(x) = potencijal.

Sa integracijom po dijelovima:

$$\int _{a}^{b}\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}dx=\left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}{\frac {d\psi ^{*}}{dx}}{\frac {d\psi }{dx}}dx=\left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}dx$$

Stoga, u slučaju da $\left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{-\infty }^{\infty }=\lim _{b\to \infty }\psi ^{*}(b){\frac {d\psi }{dx}}(b)-\lim _{a\to -\infty }\psi ^{*}(a){\frac {d\psi }{dx}}(a)$ jednako je nula, dajuči:

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}dx={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}dx$$

Kada se razmatra mali interval, oko $x=0$; tj., $x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]$. Uzmite novu (deformisanu) talasnu funkciju ψ‍ '​(x) koja se definiše kao $\psi '(x)=\psi (x)$, za $x<-\varepsilon$ i $\psi '(x)=-\psi (x)$, za $x>\varepsilon$ i konstanta za $x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]$. Ako je $\varepsilon$ dovoljno mali, to je uvijek moguće učiniti, tako da je vrijednost ψ‍ '​ (x) kontinuirana.

Pod pretpostavkom da je $\psi (x)\approx -cx$ oko $x=0$, može se napisati

$$\psi '(x)=N{\begin{cases}|\psi (x)|,&|x|>\varepsilon ,\\c\varepsilon ,&|x|\leq \varepsilon ,\end{cases}}$$

where $N={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\varepsilon ^{3}}}}$ is the norm.

Imajte na umu da gustine kinetičke energije ostaju ${\textstyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left|{\frac {d\psi '}{dx}}\right|^{2}<{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}}$ svuda zbog normalizacije. Što je još važnije, prosječna kinetička energija je smanjena za $O(\varepsilon )$, deformacijom na ψ‍ '​.

Sada razmotrite potencijalnu energiju. Radi određenosti, izaberimo $V(x)\geq 0$. Onda je jasno da, van intervala $x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]$, gustoća potencijalne energije je manja za ψ‍ '​ jer tamo je $|\psi '|<|\psi |$.

S druge strane, u intervalu $x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]$ imamo

$${V_{\text{avg}}^{\varepsilon }}'=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)|\psi '|^{2}={\frac {\varepsilon ^{2}|c|^{2}}{1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\varepsilon ^{3}}}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)\simeq 2\varepsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,$$

što važi za red $\varepsilon ^{3}$.

Međutim, doprinos potencijalnoj energiji iz ovog područja za stanje ψ sa čvorom je

$$V_{\text{avg}}^{\varepsilon }=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)|\psi |^{2}=|c|^{2}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,x^{2}V(x)\simeq {\frac {2}{3}}\varepsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,$$

niže, ali i dalje istog nižeg reda $O(\varepsilon ^{3})$ kao za deformirano stanje ψ‍ '​ i subdominantno sniženju prosječne kinetičke energije. Stoga je potencijalna energija nepromijenjena do reda $\varepsilon ^{2}$, ako deformišemo stanje $\psi$ sa čvorom u stanje ψ‍ '​ bez čvora, a promjena se može zanemariti.

Stoga možemo ukloniti sve čvorove i smanjiti energiju za $O(\varepsilon )$, što implicira da ψ‍ '​ ne može biti osnovno stanje. Stoga talasna funkcija osnovnog stanja ne može imati čvor. Ovim je dokaz završen. (Prosječna energija se tada može dalje sniziti, eliminacijom valovitosti, na apsolutni minimum varijacije.)

Implikacije

Kako osnovno stanje nema čvorove ono je "prostorno" nedegenerisano, tj. ne postoje dva stacionarna kvantna stanja sa energetskom svojstvenom vrijednošću osnovnog stanje (nazovimo ga $E_{g}$) i isto spinsko stanje i stoga bi se razlikovali samo u svom pozicijskom prostoru talasnih funkcija.

Obrazloženje ide prema kontradikciji: Jer ako bi osnovno stanje bilo degenerisano onda bi postojala dva ortonormalna stationary states $\left|\psi _{1}\right\rangle$ i $\left|\psi _{2}\right\rangle$ — kasnije predstavljene njihovim kompleksnim poziciono-prostornim talasnim funkcijama $\psi _{1}(x,t)=\psi _{1}(x,0)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }$ i $\psi _{2}(x,t)=\psi _{2}(x,0)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }$ — i bilo koja superpozicija $\left|\psi _{3}\right\rangle :=c_{1}\left|\psi _{1}\right\rangle +c_{2}\left|\psi _{2}\right\rangle$ sa kompleksnim brojevima $c_{1},c_{2}$ ispunjavanje uvjeta $|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1$ bi također bilo takvo stanje, tj. imalo bi istu energetsku svojstvenu vrijednost $E_{g}$ i isto spin-stanje.

Sada neka $x_{0}$ bude neka nasumična tačka (gdje su definirane obje talasne funkcije) i postavimo:

$$c_{1}={\frac {\psi _{2}(x_{0},0)}{a}}$$

i

$$c_{2}={\frac {-\psi _{1}(x_{0},0)}{a}}$$

sa

$$a={\sqrt {|\psi _{1}(x_{0},0)|^{2}+|\psi _{2}(x_{0},0)|^{2}}}>0$$

(prema premisi bez čvorova).

Stoga je pozicijsko-prostorna talasna funkcija od $\left|\psi _{3}\right\rangle$ je

$$\psi _{3}(x,t)=c_{1}\psi _{1}(x,t)+c_{2}\psi _{2}(x,t)={\frac {1}{a}}\left(\psi _{2}(x_{0},0)\cdot \psi _{1}(x,0)-\psi _{1}(x_{0},0)\cdot \psi _{2}(x,0)\right)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }.$$

Dakle,

$$\psi _{3}(x_{0},t)={\frac {1}{a}}\left(\psi _{2}(x_{0},0)\cdot \psi _{1}(x_{0},0)-\psi _{1}(x_{0},0)\cdot \psi _{2}(x_{0},0)\right)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }=0$$

za sve $t$.

Ali $\left\langle \psi _{3}|\psi _{3}\right\rangle =|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1$ tj., $x_{0}$ je čvor talasne funkcije osnovnog stanja i to je u suprotnosti s pretpostavkom da ova talasna funkcija ne može imati čvor.

Imajte na umu da osnovno stanje može biti degenerirano zbog različitih stanja okretanja kao što su $\left|\uparrow \right\rangle$ i $\left|\downarrow \right\rangle$ dok ima istu pozicijsko-prostornu talasnu funkciju: Bilo koja superpozicija ovih stanja stvorila bi mješovito spinsko stanje, ali ostavila bi prostorni dio (kao zajednički faktor oba) nepromenjenim.

Primjeri

Početne talasne funkcije za prva četiri stanja jednodimenzijske čestice u kutiji

• Talasna funkcija osnovnog stanja čestice u jednodimenzijskoj kutiji je poluperiod sinusni talas, koji ide na nulu na dva ruba bunara. Energija čestice je data sa ${\textstyle {\frac {h^{2}n^{2}}{8mL^{2}}}}$, gdje je h Planckova lonstanta, m je masa čestice, n je energetsko stanje (n = 1 odgovara energiji osnovnog stanja), a L je širina bunara.
• Talasna funkcija osnovnog stanja atoma vodika je sferno simetrična raspodjela sa središtem na jezgru, koje je najveće u centru i smanjuje eksponencijalno na većim udaljenostima. Elektron će se najvjerovatnije naći na udaljenosti od jezgra jednakoj Bohrovom radijusu. Ova funkcija je poznata kao 1s atomska orbitala. Za vodik (H), elektron u osnovnom stanju ima energiju 2997864000000000000♠−13,6 eV, u odnosu na ionizacijski prag. Drugim riječima, 13,6 eV je ulaz energije potreban da elektron više ne bude vezan za atom.
• Tačna definicija jedne sekunde od vremena od 1997. je trajanje $9,192,631,770$ perioda zračenja koji odgovaraju prelazu između dva hiperfina nivoa osnovno stanje atoma cezija-133 u mirovanju na temperaturi od 0 K.

Dopunska literatura

• Feynman, Richard; Leighton, Robert; Sands, Matthew (1965). "see section 2-5 for energy levels, 19 for the hydrogen atom". The Feynman Lectures on Physics. 3.