Množenje

Množenje je jedna od četiri osnovne računske operacije u aritmetici. Množenje prirodnih brojeva predstavlja njihovo ponovljeno sabiranje.

• 
  3x4=12

${\begin{matrix}\underbrace {b+b+\cdots +b} \\{a}\\[-4ex]\end{matrix}}=\sum _{i=1}^{a}b=a\cdot b$

$a$ i $b$ se nazivaju faktori. Rezultat, „a puta b“, se naziva proizvod.

Množenje viže uzastopnih brojeva

Pri množenju više brojeva se koristi slovo Π iz grčkog alfabeta :

$3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11=\prod _{i=1}^{5}(2i+1)=10\ 395$

ili

${\frac {3}{1}}\cdot {\frac {4}{2}}\cdot {\frac {5}{3}}\cdot \;\dots \;\cdot {\frac {n+2}{n}}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {i+2}{i}}={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$

Postoji i specijalni slučaj množenja prirodnih brojeva - faktorijel

$1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n=\prod _{i=1}^{n}i=n!$

Primjeri

$\prod _{i=1}^{4}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$

$\prod _{i=1}^{6}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720$

Odnosno imamo da je

$\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n}$

Ponovljeno množenje istih faktora zamjenjujemo potenciranjem

$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{6}=64$

Notacija

malo

Npr. pišemo 3 · 4 za 4 + 4 + 4. To se čita „tri puta četiri“.

Umjesto 3 · 4 nekad se piše 3 × 4. U računarskim programima se često koristi znak *. Pri množenju varijabli možemo pisati npr. (5x, xy).

Suprotna operacija je dijeljenje.

Osobine množenja

• Zakon asocijativnosti: $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot b\cdot c$
• Zakon komutativnosti: $a\cdot b=b\cdot a$
• Zakon distributivnosti: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
• Neutralni element: $a\cdot 1=a$
• Inverzni element: $a\cdot a^{-1}=1$
• Nulti element: $a\cdot 0=0\cdot a=0$

U skupu racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva, svaki broj osim nule ima tačno jedan inverzan broj.

$\forall a\ \exists _{1}b:a\cdot b=1$

Inverzan broj broja $a$ je ${\tfrac {1}{a}}$. Inverzan broj inverznog broja $a$ je broj $a$

${\frac {1}{\frac {1}{a}}}=a$

Množenje kroz skupove

Cijeli brojevi

Ako su u skupu cijelih brojeva faktori istog znaka proizvod je pozitivan, a ako su različitih predznaka onda je negativan.

$(-1)*a=a*(-1)=-a$

$(-1)(-1)=1$

Racionalni brojevi

Proizvod racionalnih brojeva je racionalan broj kome je brojilac proizvod brojilaca faktora, a imenilac proizvod imenilaca faktora

$a={\frac {p_{1}}{q_{1}}}\land b={\frac {p_{2}}{q_{2}}}\Rightarrow a\cdot b={\frac {p_{1}\cdot p_{2}}{q_{1}\cdot q_{2}}}$

Iracionalni brojevi

Neka je $b\in R\smallsetminus Q$ iracionalan broj, tada je proizvod $ab$ granična vrednost

$a\cdot b=\lim _{{\frac {p}{q}}\rightarrow b}a\cdot {\frac {p}{q}}$

gdje je ${\tfrac {p}{q}}$ racionalan broj i predstavlja približnu vrednost broja $b$. kompleksan broj

Kompleksni brojevi

Kompleksan broj $z$ možemo zapisati kao uređeni par ili u trigonometrijskom obliku:

Zbog $i^{2}=-1$ je

$(a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})$.

$\rho _{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1})\cdot \rho _{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})=\rho _{1}\rho _{2}(\cos \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right)+i\sin \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right))$

Množenje vektora

• $k\in \mathbb {R} ,\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{3}\Rightarrow k\mathbf {a} =(ka_{x},ka_{y},ka_{z})$

(Vektor množimo skalarom tako što se svaka njegova koordinata pomnoži skalarom. Ova operacija je komutativna)

• $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}$

$\cdot :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}$

(Skalarni proizvod vektora je skalar jednak zbiru proizvoda odgovarajućih koordinata)

• $\times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$

$\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}$

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}$ gdje su $\mathbf {i}$, $\mathbf {j}$ i $\mathbf {k}$jedinični vektori duž x, y i z ose

(Vektorski proizvod vektora je novi vektor, čiji je intenzitet jednak površini paralograma koji vektori-faktori zaklapaju, pravac mu je normalan na ravan koju vektori-faktori definišu, a smjer se definiše pravilom lijeve ili desne ruke, zavisno od konvencije. Ovaj proizvod je specifičan za $\mathbb {R} ^{3}$, i antikomutativan je. Vektorski proizvod se računa kao determinanta matrice.)

• $[]:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$

$\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{3}$

$[\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ]={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\\\end{vmatrix}}$ (Mješoviti proizvod tri vektora je skalar koji je jednak zapremini paralelopipeda koji ti vektori zaklapaju. Zapisuje se kao $[a,b,c]$ )

Množenje matrica

Neka su date matrice A i B veličine m_A×nA i mB×nB. Proizvod AB je definisan ako je n_A = m_B, a dobijena matrica ima dimenzije m_A×n_B. Elementi matrice-proizvoda su

$(AB)_{i,j}=\sum _{k=1}^{n_{A}}A_{i,k}B_{k,j}$

Množenje matrica nije komutativno. Matrice 1×3 i 3×2 možemo pomnožiti samo na jedan način, a 5×4 i 4×5 sa obe strane, ali proizvodi neće imati istu veličinu (5×5 na jedan i 4×4 na drugi način). Ako se pomnože dve kvadratne matrice iste veličine, proizvodi su takođe iste veličine, i može se definisati komutator

$[A,B]=A\times B-B\times A$

Također pogledajte

• Faktorijel

Reference

Multiplication