Egzaktna diferencijalna jednačina

U matematici, egzaktna diferencijalna jednačina ili jednačina totalnog diferencijala je jedna od vrsta obične diferencijalne jednačine, koja se široko koristi u fizici i inženjerstvu.

Definicija

Za dati jednostavno povezan prostor i otvoren podskup D od skupa R² i dvije funkciju P i Q, koje su neprekidne na D, tada se implicitna diferencijalna jednačina oblika

$P(x,y)\,\mathrm {d} x+Q(x,y)\,\mathrm {d} y=0,\,\!$

naziva egzaktna diferencijalna jednačina ako postoji neprekidno diferencijabilna funkcija F, koja se naziva funkcija potencijala, tako a bude

${\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=P$

and

${\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=Q.$

Nomenklatura "egzaktne diferencijalne jednačine" odnosi se na totalni diferencijal funkcije. Za funkciju $F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$, egzaktni ili totalni diferencijal po $x_{0}$ je dat kao

${\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}.$

Primjeri

Funkcija

$F(x,y)={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})$

je funkcija potencijala za diferencijalnu jednačinu

$xx'+yy'=0.\,$

Postojanje funkcija potencijala

U fizikalnim primjenama, funkcije P i Q obično nisu samo neprekidne, nego čak i neprekidno diferencijabilne. Schwarzov teorem (poznat i kao Clairautov teorem) nam tada pruža potreban uslov za postojanje funkcije potencijala. Za diferencijalne jednačine definisane na jednostavno povezanim skupovima, uslov je čak i dovoljan, te dobijamo slijedeći teorem:

Za datu diferencijalnu jednačinu oblika

$P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0,\,\!$

gdje su P i Q neprekidno diferencijabilne funkcije na jednostavno povezanom i otvorenom podskupu D od skupa R², tada funkcija potencijala F postoji ako i samo ako je

${\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial Q}{\partial x}}(x,y).$

Rješenja egzaktnih diferencijalnih jednačina

Za datu diferencijalnu jednačinu definisanu na nekom povezanom i otvorenom podskupu D od skupa R² sa funkcijom potencijala F, tada diferencijabilna funkcija f sa (x, f(x)) u D je rješenje ako i samo ako postoji realan broj c, tako da vrijedi

$F(x,f(x))=c.\,$

Za problem početne vrijednosti

$y(x_{0})=y_{0}\,$

možemo lokalno odrediti funkciju potencijala iz

$F(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})dt+\int _{y_{0}}^{y}J(x,t)dt.$

Rješavajući

$F(x,y)=c\,$

po y, gdje je c realan broj, možemo pronaći sva rješenja.

Također pogledajte

• Egzaktni diferencijal
• Totalni diferencijal