Inverzna hiperbolička funkcija

Inverzi hiperboličkih funkcija su površinske hiperboličke funkcije. Naziv dolatzi iz činjenice da one izračunavaju površinu sektor jedinične hiperbole $x^{2}-y^{2}=1$ na isti način na koji neke inverzne trigonometrijske funkcije izračunavaju dužinu luka sektora jediničnog kruga $x^{2}+y^{2}=1.$ Najčešća skraćenica za njih u matematici je arsinh, arcsinh (u USA-a) ili asinh (u računarstvu). Oznake sinh^-1 (x), cosh^-1(x) itd. se, također, koriste, uprkos činjenici da se mora voditi računa kako bi se izbjeglo pogrešno shvatanje eksponenta -1 kao stepena, a ne kao skrećene oznake za inverznu funkciju. Skraćenice arcsinh, arccosh itd. se najčešće koriste, iako to nije pravilno, pošto je prefiks arc skraćenica za arcus, dok prefiks ar označava površinu.

funkcija artanh.

Vrijednosi inverznih hiperboličkih funkcija su hiperbolički uglovi.

Logaritamsko predstavljanje

Operatori su definisani u kompleksnoj ravni kao:

${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} \,x&=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}}),\\[2.5ex]\operatorname {arcosh} \,x&=\ln(x+{\sqrt {x-1}}{\sqrt {x+1}}),\\[1.5ex]\operatorname {artanh} \,x&=\ln \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1-x}}\right)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right),\\\operatorname {arcsch} \,x&=\ln \left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {1}{x}}\right),\\\operatorname {arsech} \,x&=\ln \left({\sqrt {{\frac {1}{x}}-1}}{\sqrt {{\frac {1}{x}}+1}}+{\frac {1}{x}}\right),\\\operatorname {arcoth} \,x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}.\end{aligned}}$

gornji kvadratni korijeni su osnovni kvadratni korijeni. Za realne argumente koji daje realnu vrijednost, mogu se naći određena pojednostavljenja, npr. ${\sqrt {x-1}}{\sqrt {x+1}}={\sqrt {x^{2}-1}}$, koji, u općenom slučaju, nije tačno, kada se koriste osnovni kvadratni korijeni.

Inverzne hiperboličke funkciej u kompleksnoj ravni

$\operatorname {arsinh} (z)$	$\operatorname {arcosh} (z)$	$\operatorname {artanh} (z)$	$\operatorname {arcoth} (z)$	$\operatorname {arsech} (z)$	$\operatorname {arcsch} (z)$

Proširenja u redove

Za gornje funkcije mogu se dobiti njihova proširenja u redove:

$\operatorname {arsinh} \,x$

$=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots$

$=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1$

$\operatorname {arcosh} \,x$

$=\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)$

$=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},\qquad x>1$

$\operatorname {artanh} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1$

$\operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsinh} \,x^{-1}$

$=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots$

$=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1$

$\operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arcosh} \,x^{-1}$

$=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)$

$=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1$

$\operatorname {arcoth} \,x=\operatorname {artanh} \,x^{-1}$

$=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots$

$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1$

Asimptotsko proširenje za arsinh x je dato sa

$\operatorname {arsinh} \,x=\ln 2x+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}$

Derivacije

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} \,x&{}={\frac {-1}{x(x+1)\,{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {-1}{x^{2}\,{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}\\\end{aligned}}$

For real x:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} \,x&{}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1-x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1+x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0\end{aligned}}$

Primjer derivacije: Neka je θ = arsinh x, tako da je:

${\frac {d\,\operatorname {arsinh} \,x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sinh \theta }}={\frac {1}{\cosh \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

Također pogledajte

• Spisak integrala inverznih hiperboličkih funkcija

Vanjski linkovi

• Eric W. Weisstein, Inverzne hiperboličke funkcije na MathWorld-u.