Inverzna funkcija

U matematici, ako je ƒ funkcija od A do B, tada je inverzna funkcija od ƒ funkcija u suprotnom smijeru, od B do A, sa osobinom da je kompozicija od A do B do A (ili od B do A do B) vraća svaki element početnog skupa u njega samoga. Zbog toga, ako za argument x u funkciji ƒ dobijemo vrijednost funkcije y, tada za vrijednost argumenta y u inverznoj funkciji ƒ−1 (čitajte: f inverzno; ne miješati sa stepenovanje) dobijamo vijednost inverzne funkcije x, dakle, dobijamo početni argument funkcije ƒ. Nema svaka funkcija svoju inverznu funkciju; one koje imaju nazivaju se inverzne funkcije.

Funkcija ƒ i njena inverzija ƒ–1. Pošto ƒ preslikava a u 3, inverzna ƒ–1 preslikava 3 nazad u a.

Na primjer, neka ƒ bude funkcija koja konvertuje temperaturu u stepenima Celzijusa u temperaturu u stepenima Fahrenheita:

tada njena inverzna funkcija konvertuje stepen Fahrenheita u stepena Celzijusa:

Definicije uredi

 
Ako ƒ preslikava X u Y, tada ƒ–1 preslikava Y nazad u X.

Neka ƒ bude funkcija čiji je domen u skupu X, te čija je oblast skup Y. Tada, ako postoji, 'inverzna funkcija od ƒ je funkcija ƒ–1 sa domenom Y i oblasti X, definisana slijedećim pravilom:

 

Osobine uredi

Jedinstvenost uredi

Ako inverzna funkcija postoji za datu funkciju ƒ, ona je jedinstvena za tu datu funkciju, tj. postoji samo jedna inverzna funkcija zadate funkcije ƒ: mora postojati inverzna relacija.

Simetrija uredi

Postoji simetričnost između funkcije i njene inverzije. Specifično, ako je ƒ–1 inverzna funkcija od funkcije ƒ, tada je inverzna funkcija od ƒ–1 originalna funkcija ƒ. U simbolima:

 

Ovo slijedi jer je inverzija relacija involucija: ako se ponavlja, vraćate se gdje ste počeli.

Ovaj iskaz je očita posljedica gore objašnjene dedukcije da funkcija, za slučaj da ƒ bude inverzabilna, mora biti injetivna (prva definicija inverzne funkcije) ili bijektivna (druga definicija). Osobina simetrije može se sažeto izraziti slijedećom formulom:

 

Inverzija kompozicije funkcija uredi

 
Inverzna funkcija od g o ƒ je funkcija ƒ–1 o g–1.

Inverzna funkcija kompozicije funkcija je data formulom

 

Primijetimo da je redoslijed ƒ i g zamijenjen; da bi riješili g, koju prati ƒ, prvo moramo riješiti ƒ, pa onda g.

Na primjer, neka je ƒ(x) = x + 5, i neka je g(x) = 3x. Tada je kompozicija ƒ o g funkcija koja argument prvo množi sa tri, a zatim dodaje pet:

 

Kako bi obrnuli proces, najprije moramo prebaciti pet na lijevu stranu, a zatim sve podijeliti sa tri:

 

Ovo je kompozicija g–1 o ƒ–1) (y).

Samoinverzija uredi

Ako je X skup, tada je funkcija identiteta na skupu X svoja vlastita inverzna funkcija:

 

Općenitije, funkcija ƒ: XX je jednaka vlastitoj inverznoj funkciji ako i samo ako je kompozicija ƒ o ƒ jednaka idx. Takva funkcija se naziva involucija.

Inverzi u kalkulusu uredi

Kalkulus jedne varijable primarno se koncentriše na funkcije koje preslikavaju realne brojeve u realne brojeve. Takve funkcije su često definisane preko formula, kao što su:

 

Funkcija ƒ iz realnih brojeva u realne brojeve posjeduje inverznu funkciju sve dok grafik funkcije prolazi test horizontalne linije.

Ova tabela prikazuje nekoliko standardnih funkcija i njihovi inverza:

Funkcija ƒ(x) Inverzna ƒ–1(y) Napomena
x + a ya
ax ay
mx y / m m ≠ 0
1 / x 1 / y x, y ≠ 0
x2   samo x, y ≥ 0
x3   bez restrikcija na x and y
xp y1/p (npr.  ) x, y ≥ 0 općenito, p ≠ 0
ex ln y y > 0
ax loga y y > 0 i a > 0
trigonometrijske funkcije inverzne trigonometrijske funkcije razne restrikcije (pogledajte tabelu ispod)

Formula za inverznu funkciju uredi

Jedan od pristupa za pronalaženje formule za ƒ–1, ako ona postoji, je da se riješi jednačina y = ƒ(x) za x. Naprimjer, ako je ƒ funkcija

 

tada moramo riješiti jednačinu y = (2x + 8)3}} za x:

 

Tako je inverzna funkcija ƒ–1 data formulom

 

Ponekad se inverzna funkcija ne može izraziti preko formule. Naprimjer, ako je ƒ funkcija

 

tada je ƒ injetivna, i zbog toga posjeduje inverznu funkciju ƒ–1. Ne postoji jednostavna formula za ovu inverznu funkcju, pošto se jednačina y = x + sin x ne može riješiti algebarski za x.

Također pogledajte uredi

Reference uredi

  • Spivak, Michael (1994), Calculus (3rd izd.), Publish or Perish, ISBN 0914098896
  • Stewart, James (2002), Calculus (5th izd.), Brooks Cole, ISBN 978-0534393397