Gaussova konstanta

U matematici, Gaussova konstanta, oznake G, se definiše kao recipročna vrijednost aritmetičko-geometrijske sredine od 1 i kvadratnog korijena od 2:

$G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0.8346268\dots$

Konstanta je dobila naziv po Carlu Friedrichu Gaussu, koji je dana 30. maja 1799. godine otkrio da je

$G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}$

tako da je

$G={\frac {1}{2\pi }}\beta ({\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}},{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}})$

gdje β označava beta funkciju.

Veze sa drugim konstantama

Gaussova konstanta može se koristiti kao izraz zatvorenog oblika za gama funkciju za argument 1/4:

$\Gamma ({\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}})={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}$

a pošto su π i Γ(1/4) algebarski nezavisne, Gaussova konstanta je transcendentalna.

Druge formule

Formula za G preko Jacobijevih teta funkcija data je sa

$G=\vartheta _{01}^{2}(e^{-\pi })$

kao i red koji brzo konvergira

$G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.$

Kontanta se može dati i preko beskonačnog proizvoda

$G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).$

Gaussova konstanta ima neprekidni razlomak [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...].

Reference

• Eric W. Weisstein, Gaussova konstanta na MathWorld-u.
• Nizovi A014549 i A053002 u OEIS