Divergentni geometrijski red

U matematika, beskonačan geometrijski red oblika

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots$

je divergentan ako i samo ako | r | ≥ 1. Metode sumiranja divergentnih redova su ponekad korisne, a obično procjenjuju divergentni geometrijski red do sume koja se poklapa sa fomulom za slučaj kada je konvergentan

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}$.

Ovo važi za svaku metodu sumiranja koja posjeduje osobine tačnosti, linearnosti i stabilnosti.

Primjeri

Po težini sumiranja, prikazani su redovi:

• 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·, čija je razlika između susjednih članova −1
• 1 − 2 + 4 − 8 + · · ·, čija je razlika između susjednih članova −2
• 1 + 2 + 4 + 8 + · · ·, čija je razlika između susjednih članova 2
• 1 + 1 + 1 + 1 + · · ·, čija je razlika između susjednih članova 1.

Sumabilnost po regijama

Otvoreni jedinični disk

Obično sumiranje slijedi samo za razliku između susjednih članova |z| < 1.

Zatvoreni jedinični disk

• Cesàrovo sumiranje
• Abelovo sumiranje

Veći diskovi

• Eulerovo sumiranje

Poluravan

Red je sumabilan po Borelue za svaki z sa realnim dijelom < 1. Svaki takav red je, također, sumabilan po općoj Eulerovoj metodi (E, a) za odgovarajući a.

Reference

• Korevaar, Jacob (2004). Tauberian Theory: A Century of Developments. Springer. ISBN 3-540-21058-X.
• Moroz, Alexander (1991). "Quantum Field Theory as a Problem of Resummation".