Dijeljenje (matematika)

U matematici, posebno u elementarnoj aritmetici, dijeljenje je artimetička operacija koja je obrnuta množenju.

$20\div 4=5$

Posebno, ako je c puta b jednako a, a piše se:

$c\times b=a\,$

gdje b nije nula, tada je a podijeljeno sa b jednako c, a piše se:

${\frac {a}{b}}=c$

Na primjer,

${\frac {6}{3}}=2$

jer je

$2\times 3=6\,$.

Dijeljenje se često prikazuje pomoću razlomka. Djeljenik i djelitelj se tada nazivaju brojnikom i nazivnikom. Npr. a podjeljeno s b se piše:

${\frac {a}{b}}$

Dijeljenje se može prikazati i sa kosom crtom između djeljenika i djelitelja:

$a/b\,$

Najčešći način prikazivanja dijeljenja jedvotačkom između djeljenika i djelitelja:

$a:b$

Osobine

$a:1=a$

Djeljenje sa $-1$ daje suprotni broj

$a:(-1)=-a$

Nula podijeljena s prirodnim brojem je 0.

$0:a=0$

Broj podijeljen samim sobom daje broj 1.

$a:a=1$

Proširivanje količnika

$a:b=c=>(a*d):(b*d)=c$

Skračivanje količnika

$a:d=c=>(a:b):(d:b)=c$ za $d\neq 0$

Količnik negativnog i pozitivnog cijelog broja je negativni broj čija je apsolutna vrijednost jednaka količniku apsolutnih vrijednosti zadanih brojeva.

$(-a):b=-(a:b)$

Količnik dva negativna cijela broja je pozitivan broj čija je apsolutna vrijednost jednaka količniku apsolutnih vrijednosti djeljenika i djelitelja.

($-a):(-b)=|-a|:|-b|=a:b$

Dijeljenje možemo prikazati preko sabiranja i oduzimanja brojeva

${\frac {a+b}{c}}=(a+b)\div c={\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}$

Kao i kod množenja važi zakon distribucije dijeljenja u odnosu na sabiranje

${\frac {a+b}{c}}=(a+b)\div c={\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}$ Ali zakon distributivnosti ne važi u slučaju

${\frac {a}{b+c}}=a\div (b+c)\neq {\frac {a}{b}}+{\frac {a}{c}}$

Dvojni razlomak

Dvojni razlomak je razlomak oblika

${p/q \over r/s}$

On se rješava na sljedeći način ${p/q \over r/s}={p \over q}\times {s \over r}={ps \over qr}.$

Dijeljenje s nulom

Glavni članak: Dijeljenje s nulom

Dijeljenje bilo kojeg broja sa nulom (gdje je nula djelioc) nije definisano.

Dijeljenje cijelih brojeva

Dijeljenje cijelih brojeva nije zatvorena računska operacija. Količnik brojeva neće biti cijeli broj ako djeljenik nije višekratnik djelitelja.

Primjer

26 se ne može podijeliti sa 10 i dati cijeli broj kao količnik. U tom slučaju postoji četiri pristupa:

1. Recimo da se 26 ne može podijeliti sa 10; dijeljenje postaje djelomična funkcija.
2. Zapisivanje količnika kao decimalni razlomak ili mješoviti broj, dakle ${\tfrac {26}{10}}=2,6$ ili ${\tfrac {26}{10}}=2{\tfrac {3}{5}}.$ Ovo je najčešći pristup u matematici.
3. Zapisati rješenje kao razliku i ostatak, dakle ${\tfrac {26}{10}}=2{\mbox{ i ostatak }}6.$
4. Zapisati razliku kao cijeli broj (približni broj), dakle ${\tfrac {26}{10}}=2$

Dijeljenje kompleksnih brojeva

Količnik dva kompleksna broja od kojih drugi nije jednak nuli definisano je na sljedeći način.

${p+iq \over r+is}={(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)}={pr+qs+i(qr-ps) \over r^{2}+s^{2}}={pr+qs \over r^{2}+s^{2}}+i{qr-ps \over r^{2}+s^{2}}.$

za p, q, r, s realne brojeve r , s razičiti od 0

Jednostavnije j dijeljenje kompleksnih brojeva izraženo na sljedeći način

${pe^{iq} \over re^{is}}={pe^{iq}e^{-is} \over re^{is}e^{-is}}={p \over r}e^{i(q-s)}$

za p, q, r, s realne brojeve r različito od 0.

Dijeljenje decimalnih brojeva

Decimalni broj dijeli se s prirodnim brojem kao da nema decimalnog zareza , ali se u količniku naznačava decimalni zarez kad se završi s dijeljenjem cijelog dijela djeljenika.

$15,5:5=3,1$

Decimalni broj djeli se s decimalnim brojem tako da djeljenik i djelitelj pomnožimo s dekadskom jedinicom koja ima toliko nula koliko djelitelj decimala.

$7,842:2,4=78,42:24=3,2675$

Decimalni broj dijeli se s dekadskom jedinicom tako da mu decimalni zarez pomićemo ulijevo za onoliko decimalnih mjesta koliko nula ima ta dekadska jedinica.

$423,10:10=42,310$

$51,24:100=0.5124$

Tablica dijeljenja

Dijeljenje sa 1	Dijeljenje sa 2	Dijeljenje sa 3	Dijeljenje sa 4	Dijeljenje sa 5	Dijeljenje sa 6	Dijeljenje sa 7
1:1=1	2:2=1	3:3=1	4:4=1	5:5=1	6:6=1	7 : 7 = 1
2:1=2	4:2=2	6:3=2	8:4=2	10:5=2	12:6=2	14 : 7 = 2
3 : 1 = 3	6:2=3	9:3=3	12:4=3	15:5=3	18:6=3	21 : 7 = 3
4 : 1 = 4	8:2=4	12:3=4	16:4=4	20:5=4	24:6=4	28 : 7 = 4
5 : 1 = 5	10:2=5	15:3=5	20:4=5	25:5=5	30:6=5	35 : 7 = 5
6 : 1 = 6	12:2=6	18:3=6	24:4=6	30:5=6	36:6=6	42 : 7 = 6
7 : 1 = 7	14:2=7	21:3=7	28:4=7	35:5=7	42:6=7	49 : 7 = 7
8 : 1 = 8	16:2=8	24:3=8	32:4=8	40:5=8	48:6=8	56 : 7 = 8
9: 1 = 9	18:2=9	27:3=9	36:4=9	45:5=9	54:6=9	63 : 7 = 9
10:1=10	20:2=10	30:3=10	40:4=10	50:5=10	60:6=10	70 : 7 = 10

Dijeljenje sa 8	Dijeljenje sa 9	Dijeljenje sa 10
8:8=1	9:9=1	10 : 10 = 1
16:8=2	18:9=2	20 : 10 = 2
24:8=3	27:9=3	30 : 10 = 3
32:8=4	36:9=4	40 : 10 = 4
40:8=5	45:9=5	50 : 10 = 5
48:8=6	54:9=6	60 : 10 = 6
56:8=7	63:9=7	70 : 10 = 7
64:8=8	72:9=8	80 : 10 = 8
72:8=9	81:9=9	90 : 10 = 9
80:8=10	90:9=10	100 : 10 = 10

Pravila dijeljenja

Pravila dijeljenja mogu pomoći pri brzom određivanju da li se jedan cijeli broj može podijeliti u drugi cijeli broj.

Djeljivost sa brojem 2

Broj je djeljiv brojem 2 ako je paran odnosno ako je njegova posljednja cifra paran broj: 0, 2, 4, 6, 8

$24/2=12$

Djeljivost sa brojem 3

Broj je djeljiv brojem 3 ako je zbir njegovih cifara djeljiv sa 3.

$27/3=9$ .......... $2+7=9$ $(9/3=3)$

Djeljivost sa brojem 4

Broj je djeljiv sa 4 ako je dvocifreni broj koji čine 2 posljednje cifre tog broja djeljiv sa 4

$324/4=81$ jer je $24/4=6$

Djeljivost sa brojem 5

Broj je djeljiv sa 5 ako je njegova posljednja cifra 0 ili 5

$25/5=5$

$40/5=8$

Djeljivost sa brojem 6

Broj je djeljiv sa 6 ako je sa 2 i sa 3

$36/6=6$ jer je $36/2=18$ i $36/3=12$

Djeljivost sa brojem 8

Broj je djeljiv sa 8 ako je trocifreni broj koji cine 3 posljednje cifre tog broja djeljiv sa 8

$3120/8=390$ jer je $120/8=15$

Djeljivost sa brojem 9

Broj je djeljiv sa 9 ako je zbir cifara djeljiv sa 9.

$2817/9=313$ jer je $2+8+1+7=18=>18/9=2$

Djeljivost sa brojem 10

Broj je djeljiv sa 10 ako je djeljiv brojevima 2 i 5 odnosno završava cifrom 0

$30/10=3$ jer je $30/2=10$ $30/5=6$

Dijeljenje i kalkulus

Derivacija količnika dvije funkcije data je pravilom derivacije količnika:

${\left({\frac {f}{g}}\right)}'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}.$

Ne postoji općenita metoda integracije količnika dvije funkcije.

Također pogledajte

Alikvota Dijeljenje (digitalno) Dijeljenje sa dva Razlomak (matematika) Polje

Grupa Inverzni element Dugo dijeljenje Modulo Modularna aritmetika

Modulo operacije Multiplikativni inverz Redoslijed operacija Kvazigrupa (lijevo dijeljenje) Ostatak

Periodična decimala

Reference

• Djeljivost prirodnih brojeva
• Tablica deljenja