Cauchyjev integralni test konvergencije

U matematici, Cauchyjev integralni test konvergencije je metoda koja se koristi za testiranje konvergencije kod beskonačnih redova koji imaju nenegativne članove. Ranu verziju testa konvergencije razvio je indijski matematičar Madhava u 14. vijeku, u pomoć svojih kolega iz škole Kerala. U Evropi je kasnije razrađen od strane Maclaurina i Cauchyja, te je poznat pod nazivom Maclaurin–Cauchyjev test (ili samo Cauchyjev integralni test).

Iskaz testa

Uzmimo cijeli broj N i nenegativnu monotono opadajuću funkciju f definisanu na neograničenom intervalu [N, ∞). Tada red

$\sum _{n=N}^{\infty }f(n)$

konvergira ako i samo ako integral

$\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx$

ima određeno rješenje. To znači, ako integal divergira, divergira i dati red.

Dokaz

U dokazu se koristi test poređenja, gdje se poredi član f(n) sa integralom od f preko intervala [n − 1, n] i [n, n + 1], respektivno.

Pošto je f monotono opadajuća funkcija, znamo da je

$f(x)\leq f(n)\quad {\text{for }}x\in [n,\infty )$

i

$f(n)\leq f(x)\quad {\text{for }}x\in [N,n],$

odakle vrijedi, za svaki n veći od N

$\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq \int _{n}^{n+1}f(n)\,dx=f(n)=\int _{n-1}^{n}f(n)\,dx\leq \int _{n-1}^{n}f(x)\,dx.$

Pošto prethodna procjena važi i za f(N), dobijamo sumiranjem preko cijelog n, od N do nekog većeg cijelog broja M

$\int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}F(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.$

Kada pustimo da M teži u beskonačnost, dobijamo razultat.

Primjene

Hermonijski red

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$

divergira zato što, koristeći prirodni logaritam, njegovu derivaciju, te fundamentalni teorem kalkulusa, dobijamo

$\int _{1}^{M}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln x{\Bigr |}_{1}^{M}=\ln M\to \infty \quad {\text{for }}M\to \infty .$

Suprotno, red

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}$

(uporedite sa Riemannovom zeta funkcijom) konvergira za svaki ε > 0, pošto je

$\int _{1}^{M}{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}\,dx=-{\frac {1}{\varepsilon x^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}{\Bigl (}1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}{\Bigr )}\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\quad {\text{for all }}M\geq 1.$

Granica između konvergencije i divergencije

Prethodni primjeri koji uključuju harmonijske redove, postavljuju pitanje da li potoje monotoni nizovi takvi da f(n) opada do 0 brže od 1/n, ali sporije od 1/n^1+ε, u smislu da

$\lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n}}=0\quad {\text{and}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n^{1+\varepsilon }}}=\infty$

za svaki ε > 0, te da li odgovarajući redovi funkcije f(n) još uvijek, u tom slulčaju, divergiraju. Kada se takav niz pronađe, slično pitanje može se postaviti u slačaju da f(n) uzme ulogu 1/n, i tako dalje. Na ovaj način moguće je istražiti granicu između divergencije i konvergencije.

Koristeći integralni test konvergencije, može se pokazati (pogledajte ispod) d, za svaki prirodan broj k, red

$\sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)\ln _{k}(n)}}$

još uvijek divergira (uporedite sa dokazom da suma recipročnih prostih brojeva divergira za k = 1), ali

$\sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)(\ln _{k}(n))^{1+\varepsilon }}}$

konvergira za svaki ε > 0. Ovdje ln_k označava k-tu kompoziciju funkcija prirodnog logaritma definisanog rekurzivno sa

$\ln _{k}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{for }}k=1,\\\ln(\ln _{k-1}(x))&{\text{for }}k\geq 2.\end{cases}}$

Nadalje, N_k označava najmanji prirodni broj takav da je k-ta kompozocija dobro definisana i ln_k N_k ≥ 1, npr.

$N_{k}\geq \underbrace {e^{e^{\cdot ^{\cdot ^{e}}}}} _{k\ e'{\text{s}}}=e\uparrow \uparrow k$

koristeći tetraciju ili Knuthovu notaciju.

Kako bi smo vidjeli divergenciju prvog reda koristeći integralni test, zapazite da ponavljanom primjenom pravila derivacije složene funkcije

${\frac {d}{dx}}\ln _{k+1}(x)={\frac {d}{dx}}\ln(\ln _{k}(x))={\frac {1}{\ln _{k}(x)}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}},$

odakle vrijedi

$\int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}=\ln _{k+1}(x){\bigr |}_{N_{k}}^{\infty }=\infty .$

Da bi smo vidjeli konvergenciju drugog reda, zapazite da sa primjenom pravila o derivaciji stepena, pravila o derivaciji složene funkcije i rezultata iznad dobijamo

$-{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}={\frac {1}{(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}},$

odakle vrijedi

$\int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}=-{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{N_{k}}^{\infty }<\infty .$

Reference

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0-486-60153-6
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0-521-58807-3