Adjungovana matrica

U linearnoj algebri, adjungovana ili klasični pridodatak kvadratne matrice je matrica koji igra ulogu sličnu inverzu matrice; može se, međutim, definisati za svaku kvadratnu matricu bez potrebe da se obavlja bilo kakvo dijeljenje.

Definicija

Pretpostavimo da je R komutativni prsten i A je matrica dimenzije n×n sa vrijednostima iz R. Definicija adjungovane matrice od A je proces iz više koraka:

• Definišimo (i,j) minor od A, u oznaci M_ij, kao determinantu matrice dimnezije (n − 1)×(n − 1), koja rezultuje brisanjem reda i i kolone j od A.
• Definišimo (i,j) kofaktor matrice A kao

$\mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}.\,$

• Definišimo matricu kofaktora matriceA, kao matricu C, dimenzije n×n, čija je vrijednost (i,j) je (i,j) kofaktor matrice A.

adjungovana matrica matrice A je transponovana matrica matrice kofaktora matrice A:

$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{T}\,$.

To jeste, adjungovana matrica matrice A je matrica dimenzije n×n čije su (i,j) vrijednosti (j,i) kofaktori matrice A:

$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )_{ij}=\mathbf {C} _{ji}\,$.

Primjeri

Svojstvena matrica dimenzije 2x2

Adjungovana matrica matrice dimenzije $2\times 2$

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}$

je

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}}$.

Svojstvena matrica dimenzije 3x3

Razmotrimo matricu dimenzije $3\times 3$

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}$.

Njena adjungovana matrica je

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}$

gdje je

$\left|{\begin{matrix}A_{im}&A_{in}\\\,\,A_{jm}&A_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left({\begin{matrix}A_{im}&A_{in}\\\,\,A_{jm}&A_{jn}\end{matrix}}\right)$.

Uočite da je adjungovana matrica transponovana matrica matrice kofaktora. Zbog toga, naprimjer, vrijednost (3,2) adjungovana matrice je kofaktor (2,3) matrice A.

Numerička matrica dimenzije 3x3

Kao specifični primjer imamo

$\operatorname {adj} {\begin{pmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\!-8&18&\!-4\\\!-5&12&\!-1\\\,4&\!-6&\,2\end{pmatrix}}$.

−6 u trećem redu, drugoj koloni adjungovane matrice, izračunato je na sljedeći način:

${\textstyle (-1)^{3+2}\;\operatorname {det} {\begin{pmatrix}\!-3&\,-5\\\,-1&\!-2\end{pmatrix}}=-((-3)(-2)-(-5)(-1))=1}$.

Ponovo, vrijednost (3,2) adjungovane matrice je kofaktor (2,3) matrice A. Zbog toga, podmatrica

${\begin{pmatrix}\!-3&\,2\\\,3&\!-4\end{pmatrix}}$

dobivena je brisanjem drugog reda i treće kolone originalne matrice A.

Primjene

Kao posljedica Laplaceove formule za determinantu matrice A dimenzije n×n, imamo

$\mathbf {A} \,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\,\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )\,\mathbf {I} \qquad (*)$

gdje je I jedinična matrica dimenzije n×n. Uistinu, vrijednost (i,i) proizvoda A adj(A) je skalarni proizvod reda i matrice A sa redom i matrice kofaktora C, koji je jednostavno Laplaceova formula za det(A) proširen sa redom i. Više, za i ≠ j, vrijednost (i,j) prooizvoda je skalarni proizvod reda i matrice A sa redom j matrice C, koji je Laplaceova formula fza determinantu matrice čiji su i i j redovi jednaki, i koja je zbog toga, jednaka nuli.

Iz ove formule slijedi jeda od najvažnijih rezultata u matričnoj algebri: Matrica A nad komutativnim prostenom R je inverzna ako i samo ako je det(A) inverzna u R.

Ako je A inverzna matrica, tada je

$1=\det(\mathbf {I} )=\det(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{-1})=\det(\mathbf {A} )\det(\mathbf {A} ^{-1}),$

a ako je det(A) jedinica, tada (*) iznad pokazuje da je

$\mathbf {A} ^{-1}=\det(\mathbf {A} )^{-1}\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} ).$

Osobine

Adjungovana matrica ima osobine

$\mathrm {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I} \,$

$\mathrm {adj} (\mathbf {AB} )=\mathrm {adj} (\mathbf {B} )\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\,$

za sve matrice A and B dimenzija n×n.

Adjungovana matrica zadržava transpoziciju:

$\mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{T})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{T}\,$.

Dalje, ako je $\mathbf {A}$ nesingularna, tada je

$\det {\big (}\mathrm {adj} (\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{n-1}\,$.

Ako je p(t) = det(A − tI) karakteristični polinom matrice A, te ako definišemo polinom q(t) = (p(0) − p(t))/t, tada je

$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=q(\mathbf {A} )=-(p_{1}\mathbf {I} +p_{2}\mathbf {A} +p_{3}\mathbf {A} ^{2}+\cdots +p_{n}\mathbf {A} ^{n-1})$,

gdje su $p_{j}$ koeficijenti od p(t),

$p(t)=p_{0}+p_{1}t+p_{2}t^{2}+\cdots p_{n}t^{n}.$

Adjungovana matrica također se pojavljuje u formuli derivacije determinante.

Reference

• Strang, Gilbert (1988). "Section 4.4: Applications of determinants". Linear Algebra and its Applications (3rd izd.). Harcourt Brace Jovanovich. str. 231–232. ISBN 0-15-551005-3. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)

Vanjski linkovi

• Matrix Reference Manual