1 + 1 + 1 + 1 + · · · , može se pisati i kao ∑ n = 1 ∞ n 0 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{0}} , ∑ n = 1 ∞ 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1^{n}} , ili ∑ n = 1 ∞ 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1} , je divergentni red .[1] [2] To znači da niz parcijalnih suma ne konvergira do neke granice u skupu realnih brojeva .
1 + 1 + 1 + 1 + · · · poslije izravnanja Niz 1 n {\displaystyle 1^{n}} može se posmatrati kao geometrijski niz sa zajedničkim odnosom 1 {\displaystyle 1} . Za razliku od drugih geometrijskih nizova sa racionalnim odnosom (osim -1),
ne konvergira u realne brojeve.
Kada se pojavi u primjeni u fizici, red 1 + 1 + 1 + 1 + · · · se može interpretirati pomoću regularizacije zeta funkcije . To je vrijednost Riemannove zeta funkcije za s = 0 {\displaystyle s=0}
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,} = 1 1 − 2 1 − s ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n s , {\displaystyle ={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\,,} Gore navedene formule ne važe za nulu, međutim, kako jedna mora da koristi analitički nastavak Rimanove zeta funkcije,[3]
Asimptotsko ponašanje izravnanja. U-presjek linije je − 1 / 2 {\displaystyle -1/2} ζ ( s ) = 2 s π s − 1 sin ( π s 2 ) Γ ( 1 − s ) ζ ( 1 − s ) , {\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!,}
Koristeći ovaj dobija se (s obzirom da je Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (1)=1} ),
ζ ( 0 ) = 1 π lim s → 0 sin ( π s 2 ) ζ ( 1 − s ) = {\displaystyle \zeta (0)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \zeta (1-s)=}
1 π lim s → 0 ( π s 2 − π 3 s 3 48 + . . . ) ( − 1 s + . . . ) = − 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {\pi ^{3}s^{3}}{48}}+...\right)\ \left(-{\frac {1}{s}}+...\right)=-{\frac {1}{2}}\!} [4]
u kojoj je funkcija definisana, gdje red divergira po analitičkom produženju . U tom smislu vrijedi 1 + 1 + 1 + 1 + · · · = ζ(0) = −1 ⁄2 .
Može se reći da je
∑ n = 1 m n 0 = m {\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n^{0}=m}
Lako se dokazuje matematičkom indukcijom.
∑ n = 1 1 n 0 = 1 0 = 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{1}n^{0}=1^{0}=1}
∑ n = 1 2 n 0 = 1 0 + 2 0 = 1 + 1 = 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{2}n^{0}=1^{0}+2^{0}=1+1=2}
∑ n = 1 3 n 0 = 1 0 + 2 0 + 3 0 = 1 + 1 + 1 = 3 {\displaystyle \sum _{n=1}^{3}n^{0}=1^{0}+2^{0}+3^{0}=1+1+1=3}
∑ n = 1 4 n 0 = 1 0 + 2 0 + 3 0 + 4 0 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 {\displaystyle \sum _{n=1}^{4}n^{0}=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}=1+1+1+1=4}
n m n m = n m − m = n 0 = 1 {\displaystyle {\frac {n^{m}}{n^{m}}}=n^{m-m}=n^{0}=1}
Tvrdnja ne važi za n = 0 {\displaystyle n=0} jer 0 0 {\displaystyle 0^{0}} nema smisla
U Dekartovom koordinantnom sistemu
uredi
Demonstracija zbira
uredi
Carl Friedrich Gauss, otkrio trouglaste brojeve ∑ n = 1 m n 0 = ∑ n = 1 m n − ∑ n = 0 m − 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n^{0}=\sum _{n=1}^{m}n-\sum _{n=0}^{m-1}n}
∑ n = 1 m n 0 = m {\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n^{0}=m}
∑ n = 1 m n = m ( m + 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n={\frac {m(m+1)}{2}}}
∑ n = 0 m − 1 n = m ( m − 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{m-1}n={\frac {m(m-1)}{2}}}
∑ n = 1 m n 0 = m ( m + 1 ) 2 − m ( m − 1 ) 2 = m 2 ( m + 1 − m + 1 ) = m 2 ( 2 ) = m {\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n^{0}={\frac {m(m+1)}{2}}-{\frac {m(m-1)}{2}}={\frac {m}{2}}(m+1-m+1)={\frac {m}{2}}(2)=m}
m ( m + 1 ) 2 = ( m + 1 2 ) {\displaystyle {\frac {m(m+1)}{2}}={\binom {m+1}{2}}} što je trouglasti broj koji je otkrio Gauss .
Razlika između zbirova
uredi
∑ n = 1 m n − ∑ n = 1 m n 0 = ∑ n = 0 m − 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n-\sum _{n=1}^{m}n^{0}=\sum _{n=0}^{m-1}n}
Za m = 1 , 2 {\displaystyle \ m=1,2}
m = 1 {\displaystyle \ m=1}
∑ n = 1 1 n − ∑ n = 1 1 n 0 = ∑ n = 0 0 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{1}n-\sum _{n=1}^{1}n^{0}=\sum _{n=0}^{0}n} koji odgovara
∑ n = 1 1 1 − ∑ n = 1 1 1 = ∑ n = 0 0 0 = 1 − 1 = 0 {\displaystyle \sum _{n=1}^{1}1-\sum _{n=1}^{1}1=\sum _{n=0}^{0}0=1-1=0} što znači 0 = 0 {\displaystyle \ 0=0}
m = 2 {\displaystyle \ m=2}
∑ n = 1 2 n − ∑ n = 1 2 n 0 = ∑ n = 0 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{2}n-\sum _{n=1}^{2}n^{0}=\sum _{n=0}^{1}n} koji odgovara
∑ n = 1 2 1 + 2 − ∑ n = 1 2 2 = ∑ n = 0 1 1 = 3 − 2 = 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{2}1+2-\sum _{n=1}^{2}2=\sum _{n=0}^{1}1=3-2=1} što znači 1 = 1 {\displaystyle \ 1=1}
Formule koje se odnose na razliku
uredi
∑ n = 1 m n 0 = ∑ n = 1 m n − ∑ n = 0 m − 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n^{0}=\sum _{n=1}^{m}n-\sum _{n=0}^{m-1}n}
možemo dobiti slične
∑ n = 1 m n 0 = ∑ n = 0 m − 1 n − ∑ n = − 1 m − 2 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n^{0}=\sum _{n=0}^{m-1}n-\sum _{n=-1}^{m-2}n}
∑ n = 1 m n 0 = ∑ n = − 1 m − 2 n − ∑ n = − 2 m − 3 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n^{0}=\sum _{n=-1}^{m-2}n-\sum _{n=-2}^{m-3}n}
∑ n = 1 m n 0 = ∑ n = − 2 m − 3 n − ∑ n = − 3 m − 4 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n^{0}=\sum _{n=-2}^{m-3}n-\sum _{n=-3}^{m-4}n}
za m = 1 , 2 {\displaystyle \ m=1,2} :
∑ n = 1 1 n 0 = ∑ n = 0 0 n − ∑ n = − 1 − 1 n = ∑ n = 1 1 1 = ∑ n = 0 0 0 − ∑ n = − 1 − 1 − 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{1}n^{0}=\sum _{n=0}^{0}n-\sum _{n=-1}^{-1}n=\sum _{n=1}^{1}1=\sum _{n=0}^{0}0-\sum _{n=-1}^{-1}-1} što znači 1 = 0 + 1 {\displaystyle \ 1=0+1} odnosno 1 = 1 {\displaystyle \ 1=1} .
∑ n = 1 2 n 0 = ∑ n = 0 1 n − ∑ n = − 1 0 n = ∑ n = 1 1 2 = ∑ n = 0 2 1 − ∑ n = − 1 0 − 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{2}n^{0}=\sum _{n=0}^{1}n-\sum _{n=-1}^{0}n=\sum _{n=1}^{1}2=\sum _{n=0}^{2}1-\sum _{n=-1}^{0}-1} što znači 2 = 1 + 1 {\displaystyle \ 2=1+1} odnosno 2 = 2 {\displaystyle \ 2=2}
∑ n = 1 1 n 0 = ∑ n = − 1 − 1 n − ∑ n = − 2 − 2 n = ∑ n = 1 1 1 = ∑ n = − 1 − 1 − 1 − ∑ n = − 2 − 2 − 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{1}n^{0}=\sum _{n=-1}^{-1}n-\sum _{n=-2}^{-2}n=\sum _{n=1}^{1}1=\sum _{n=-1}^{-1}-1-\sum _{n=-2}^{-2}-2} što znači 1 = − 1 + 2 {\displaystyle \ 1=-1+2} odnosno 1 = 1. {\displaystyle \ 1=1.}
∑ n = 1 2 n 0 = ∑ n = − 1 0 n − ∑ n = − 2 − 1 n = ∑ n = 1 2 2 = ∑ n = − 1 0 − 1 − ∑ n = − 2 − 1 − 3 {\displaystyle \sum _{n=1}^{2}n^{0}=\sum _{n=-1}^{0}n-\sum _{n=-2}^{-1}n=\sum _{n=1}^{2}2=\sum _{n=-1}^{0}-1-\sum _{n=-2}^{-1}-3} što znači 2 = − 1 + 3 {\displaystyle \ 2=-1+3} odnosno 2 = 2 {\displaystyle \ 2=2} .
∑ n = 1 1 n 0 = ∑ n = − 2 − 2 n − ∑ n = − 3 − 3 n = ∑ n = 1 1 1 = ∑ n = − 2 − 2 − 2 − ∑ n = − 3 − 3 − 3 {\displaystyle \sum _{n=1}^{1}n^{0}=\sum _{n=-2}^{-2}n-\sum _{n=-3}^{-3}n=\sum _{n=1}^{1}1=\sum _{n=-2}^{-2}-2-\sum _{n=-3}^{-3}-3} što znači 1 = − 2 + 3 {\displaystyle \ 1=-2+3} odnosno 1 = 1 {\displaystyle \ 1=1}
∑ n = 1 2 n 0 = ∑ n = − 2 − 1 n − ∑ n = − 3 − 2 n = ∑ n = 1 2 2 = ∑ n = − 2 − 1 − 3 − ∑ n = − 3 − 2 − 5 {\displaystyle \sum _{n=1}^{2}n^{0}=\sum _{n=-2}^{-1}n-\sum _{n=-3}^{-2}n=\sum _{n=1}^{2}2=\sum _{n=-2}^{-1}-3-\sum _{n=-3}^{-2}-5} što znači 2 = − 3 + 5 {\displaystyle \ 2=-3+5} odnosno a 2 = 2 {\displaystyle \ 2=2}
Opšta formula koja se odnosi na razliku
uredi
∑ n = 1 m n 0 = ∑ n = − k + 1 m − k n − ∑ n = − k m − ( k + 1 ) n {\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n^{0}=\sum _{n=-k+1}^{m-k}n-\sum _{n=-k}^{m-(k+1)}n}
k = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . {\displaystyle \ k=0,1,2,3,...} na skupu N {\displaystyle \mathbb {N} } .
Formule koje se odnose na proizvod
uredi
∑ n = 1 m + 1 n 0 ⋅ ∏ p = 1 m ( p p + 1 ) = 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{m+1}n^{0}\cdot \prod _{p=1}^{m}({\frac {p}{p+1}})=1}
∑ n = 1 m + 1 n 0 = m + 1 e ∏ p = 1 m ( p p + 1 ) = 1 m + 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{m+1}n^{0}=m+1e\prod _{p=1}^{m}({\frac {p}{p+1}})={\frac {1}{m+1}}}
kad pomnožimo dobijemo m + 1 ⋅ 1 m + 1 = 1 {\displaystyle \ m+1\cdot {\frac {1}{m+1}}=1}
∑ m = 1 s ( ∑ n = 1 s + 1 n 0 ⋅ ∏ p = 1 s ( p p + 1 ) ) = ∑ n = 1 s n 0 {\displaystyle \sum _{m=1}^{s}(\sum _{n=1}^{s+1}n^{0}\cdot \prod _{p=1}^{s}({\frac {p}{p+1}}))=\sum _{n=1}^{s}n^{0}}
Također pogledajte
uredi
Vanjski linkovi
uredi